Свойство медианы, которое существенно облегчит решение многих задач, заключается в следующем: если в треугольнике провести медианы из каждого угла, то все они, пересекаясь в одной точке, будет делиться в соотношении 2:1. Соотношение следует отсчитывать от вершины угла.
Медиана имеет свойство разделять все поровну. Например, любая медиана делит треугольник на два других, равных по своей площади. А если провести все три медианы, то в большом треугольнике получится 6 маленьких, также равных по площади. Такие фигуры (с одинаковой площадью) называются равновеликими.
Биссектриса
Биссектриса представляет собой луч, который начинается в вершине угла и делит этот же угол пополам. Точки, лежащие на данном луче, равноудалены от сторон угла. Свойства биссектрисы хорошо помогают в решении задач, связанных с треугольниками.В треугольнике биссектрисой называют отрезок, который лежит на луче биссектрисы угла и соединяет вершину с противолежащей стороной. Точка пересечения со стороной делит ее на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих к ним сторонам.
Если в треугольник вписать окружность, то ее центр будет совпадать с точкой пересечения всех биссектрис данного треугольника. Это свойство имеет отражение и в стереометрии - там роль треугольника играет пирамида, а окружности - шар.
Высота
Также как медиана и биссектриса, высота в треугольнике в первую очередь связывают вершину угла и противолежащую сторону. Это связь проистекает в следующем: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины, к прямой, которая содержит в себе противолежащую сторону.Если высота проведена в прямоугольном треугольнике, то, касаясь противоположной стороны, она делит весь треугольник на два других, которые в свою очередь подобны первому.
Нередко понятие перпендикуляра применяется в стереометрии, чтобы определить взаиморасположения прямых в разных плоскостях и расстояние между ними. В этом случае отрезок, выполняющий функцию перпендикуляра, должен иметь прямой угол с обеими прямыми. Тогда числовое значение данного отрезка будет показывать расстояние между двумя фигурами.
Урок 3
Медиана делит площадь треугольника пополам
Два треугольника называются равновеликими . Если они имеют одинаковую площадь.
Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Доказательство:
Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что
https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg" width="289" height="227">
Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда
,
https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif" width="136" height="34 src=">.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif" width="217" height="55 src=">.
Что и требовалось доказать.
Теорема 2 . Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.
Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.
Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif" width="120" height="47 src=">.
Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то 
.
Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .
Ответ: 8
Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть медианы А M , BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF = KE . Соединим точки С, F и A.
Рассмотрим треугольник KAF .
https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif" width="152" height="41 src=">
https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif" width="67" height="19 src=">, так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем 
.
Так как https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif" width="125" height="20 src=">, то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .
Вычислим площадь треугольника AKF:
https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif" width="104" height="41 src=">.gif" width="104" height="41 src=">.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif" width="16 height=41" height="41"> от площади самого треугольника.
Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».
Вопросы для самопроверки:
1. Какие треугольники называются равновеликими?
2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?
3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?
4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?
5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?
6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?
Посмотреть ответы.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.
Посмотреть решение.
2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.
Посмотреть решение.
3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.
Посмотреть решение.
4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.
Посмотреть решение.
В этой статье вы найдете свойства биссектрисы и медианы треугольника, которые могут быть полезны при решении задач.
Биссектрисы.
1. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.
Доказательство.
Действительно, точки, лежащие на биссектрисе угла равноудалены от сторон угла. Следовательно, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника, то есть является центром вписанной окружности.
2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
Доказательство.
Сделаем дополнительные построения. Проведем через точку
прямую
, параллельную 
Точка пересечения прямой и прямой :
∠1=∠2, так как - биссектриса ∠
∠2=∠3 как накрест лежащие, так как по построению.
Следовательно, ∠1=∠3 и треугольник - равнобедренный, и .
следовательно,
3. Длина биссектрисы вычисляется по таким формулам:
Докажем вторую формулу.
Введем обозначения:
Приравняем выражения для площади треугольника :
4. Пусть О-центр вписанной окружности, -биссектриса угла треугольника :
Тогда выполняется соотношение:
Доказательство:
Рассмотрим треугольник :
Биссектриса угла , следовательно, по свойству биссектрисы треугольника
Пусть , тогда
Выразим . По свойству биссектрисы треугольника :
Отсюда 
Биссектрису треугольника в некоторых задачах удобно продолжить до пересечения с описанной окружностью.
Лемма о трилистнике.
Дан треугольник . Точка - точка пересечения биссектрисы угла с описанной около треугольника окружностью. Пусть - центр вписанной в треугольник окружности. Тогда
Доказательство.
Вписанные углы, которые опираются на равные дуги равны. Отметим равные вписанные углы:
Отсюда .
Центр вписанной окружности, поэтому
-бисссектриса угла
. 
Из треугольника
Тогда из треугольника
Получили .
То есть треугольник - равнобедренный.
Отсюда .
Доказали, что
Докажем формулу (1) из п. 3:
Доказательство:
Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью. Рассмотрим треугольники и . Отметим равные углы:
Треугольник подобен треугольнику по двум углам. Отсюда:
По свойству отрезков пересекающихся хорд
Подставим (3) в (2) и воспользуемся (4):
Выразим длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника через длины сторон треугольника. Введем обозначения:
Получим систему:
Медианы.
1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины:
2. Пусть
- точка внутри треугольника
такая, что выполняется соотношение: 
, то
- точка пересечения медиан треугольника
.
Доказательство.
Докажем вспомогательную теорему.
Лемма.
Для произвольной точки внутри треугольника выполняется соотношение:
Опустим из точек
и
перпендикуляры на :
Из подобия треугольников и получаем:
Если мы рассмотрим треугольники
и
с общим основанием , то получим соотношение:
Аналогично получим
Сложив эти равенства получим:
Используем эту лемму для доказательства утверждения 2.
Если выполняется равенство (1)
, то выполняется равенство 
(2)
и из леммы следует, что в равенстве (2) каждая дробь равна .
Докажем, что в этом случае отрезки 
являются медианами.
Если 
, то получаем 
. Проведем через точку
прямые, параллельные
и
и рассмотрим две пары подобных треугольников:
и
:
Отсюда получаем
Из подобия треугольников получаем , то есть точка - середина отрезка . Отсюда .
Следовательно, - медиана треугольника .
3. Медианы треугольника, пересекаясь, разбивают его на 6 равновеликих треугольника.
Доказательство.
Докажем, что
так как ,
так как ,
Следовательно,
Высоты.
1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае остроугольного треугольника в одной точке пересекаются сами высоты.
2. Точка пересечения высот треугольника обладает следующим свойством: сумма квадрата расстояния от вершины треугольника и квадрата противолежащей стороны одинаковая для любой вершины:
Доказательство.
Докажем первую часть равенства:
Перепишем его в виде:
По теореме Пифагора: (из треугольников и )
(из треугольника
)
(из треугольника
)
Подставим эти выражения в (1), получим:
Раскроем скобки, получим:
Получили тождество. Вторая часть равенства доказывается аналогично.
3. Если описать вокруг треугольника окружность и продлить высоты треугольника до пересечения с этой окружностью,
то для любой высоты треугольника расстояние от основания высоты до точки пересечения продолжения высоты с окружностью равно расстоянию от основания высоты до точки пересечения высот:
Или так: Точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон треугольника, лежат на описанной около треугольника окружности.
Доказательство.
Докажем, что .
Для этого рассмотрим треугольники
и
, и докажем, что 
:
Воспользуемся признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. - общая сторона. Докажем равенство двух углов.
Докажем, что ∠ ∠
Пусть ∠, тогда из треугольника получим, что
∠
. Следовательно, из треугольника
получим, что
Но ∠ и ∠ опираются на одну дугу , следовательно, ∠ ∠ ∠
Аналогично получаем, что ∠ ∠
4. В треугольнике точки и - основания высот, проведенных из вершин и . Доказать, что треугольник подобен треугольнику и коэффициент подобия равен .
Доказательство:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника
лежит в середине гипотенузы . Точка
лежит на этой окружности, так как - гипотенуза прямоугольного треугольника
:
Как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
из треугольника :
Отсюда
. Угол
- общий угол треугольников
и
. Следовательно, треугольник
подобен треугольнику
. Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон, то есть сторон, которые лежать против равных углов: 
Теорема Чевы
Пусть в треугольнике
Отрезки пересекаются в одной точке в том и только том случае, если
Доказательство.
Докажем, что если отрезки пересекаются в одной точке, то соотношение (1) выполняется.
Легко проверить, что если
, то выполняется 
Применим это свойство пропорции:
Аналогично:
Теорему Чевы можно записать в таком виде:
Если отрезки пересекаются в одной точке, то выполняется соотношение:
Чтобы доказать теорему Чевы в форме синусов
, достаточно во вторую часть равенства (2) вместо площадей треугольников подставить для площади каждого треугольника формулу 
.
Из лекций Агаханова Назара Хангельдыевича и Владимира Викторовича Трушкова, КПК МФТИ.
1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Свойства биссектрис треугольника
1. Биссектриса угла - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .
3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Свойства высот треугольника
1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные 
треугольники.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Подобие треугольников
Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:
· два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
· две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;
· три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.
Теорема синусов
Теорема косинусов
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Формулы площади треугольника
1. Произвольный треугольник
a, b, c -
стороны; - угол между сторонами a
и b
; - полупериметр; R -
радиус описанной окружности; r -
радиус вписанной окружности; S -
площадь; h a -
высота, проведенная к 
стороне a
.
S = ah a
S = ab sin
S = pr
2. Прямоугольный треугольник
a, b - катеты; c - гипотенуза; h c - высота, проведенная к стороне c .
S = ch c S = ab
3. Равносторонний треугольник
Четырехугольники
Свойства параллелограмма
· противолежащие стороны равны;
· противоположные углы равны;
· диагонали точкой пересечения делятся пополам;
· сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
· сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).
Четырехугольник является параллелограммом, если:
1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Свойства трапеции
· ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
· если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
· если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
· если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
Свойства прямоугольника
· диагонали равны.
Параллелограмм является прямоугольником, если:
1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.
Свойства ромба
· все свойства параллелограмма;
· диагонали перпендикулярны;
· диагонали являются биссектрисами его углов.
1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Свойства квадрата
· все углы квадрата прямые;
· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
Основные формулы
1. Произвольный выпуклый четырехугольник 
d 1
, d 2 -
диагонали; - угол между ними; S -
площадь.
Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы - это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать.
Определение
Медиана - это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.
Свойства медиан
- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
- Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
- Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.
Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.
Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.
- Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
- Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
Задачи
Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:
- В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$
$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
Найдем значение медианы: $$m={c\over2}={5\over2}=2,5$$ - получившееся число и есть значение медианы.
Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.
- В треугольнике известны значения сторон: a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:
$$m^2 ={1\over2}*(a^2+c^2-b^2)$$
Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего - вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.
Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=\sqrt{{1\over2}*(a^2+c^2-b^2)}$$
$$m=\sqrt{{1\over2}*(49+81-64)}=\sqrt{33}$$ - оставим результат в виде корня.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.
Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.
Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.
$$S={1\over2}*6*8=24$$
Площадь каждого из малых треугольников: $${24\over6}=4$$
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.7 . Всего получено оценок: 75.
