Открытый урок по математика на тему "свойства логарифмов". Презентация на тему "логарифмы и их свойства" Открытый урок свойства логарифмов

« Пускай кому- то мил английский, Кому- то химия важна. Без математики же всем нам И ни туда, и ни сюда. Нам уравненья - как поэмы, И интеграл поддержит дух, Нам логарифмы - как поэмы, И интеграл поддержит дух, Нам логарифмы - словно песни, А формулы ласкают слух» словно песни, А формулы ласкают слух» « Пускай кому- то мил английский, Кому- то химия важна. Без математики же всем нам И ни туда, и ни сюда. Нам уравненья - как поэмы, И интеграл поддержит дух, Нам логарифмы - как поэмы, И интеграл поддержит дух, Нам логарифмы - словно песни, А формулы ласкают слух» словно песни, А формулы ласкают слух»

ВЫЧИСЛИМ: Log = Log 7 1/49 = Log 7 1/49 = Log 4 64 = Log 4 64 = Log 52 1 = Log 52 1 = Log 8 8 = Log 8 8 = Lg100 = Lg100 = Log 3 81 = Lg0,01 = Log 5 1/5 = Log 3 81 = Lg0,01 = Log 5 1/5 =

ГРАФИКИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ y = Log a x 0 1 1"> 1"> 1" title="ГРАФИКИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ y = Log a x 0 1"> title="ГРАФИКИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ y = Log a x 0 1">

МИНИ-ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА 1 ВАРИАНТ 1.Составим логарифм с цифрами: 2, 3, 9 2.Log 4 64 = 3.Log 7 1/49 = 1.Log 9 1 = 2.8 Log 8 5 = 3.(1/3) Log 3 2 = 4.49 Log 7 4 = 5.Log 2 Log 3 81 = 6.1/2Log Log Log 7 = 2 ВАРИАНТ 1.Составим логарифм с цифрами: 3, 4, 81 2.Log = 3.Log 3 1/81 = 1.Log = 2.3 Log 3 18 = 3.(1/4) Log 4 5 = 4.9 2Log 3 2 = 5.Log 3 Log 2 8 = 6.2Log 3 6 – 1/2 Log Log 3 =

ОТВЕТЫ 1 ВАРИАНТ 1.Log 3 9 = / ВАРИАНТ 1.Log 3 81 = / Оценка за работу: 6 правильных ответов - оценка « 3 » 8 правильных ответов - оценка « 4 » 10 правильных ответов - оценка « 5 »

Домашнее задание:п (а,б,г),480, 495(в,г)

Шотландец, теолог, математик, изобретатель "оружия смерти", задумавший сконструировать систему зеркал и линз, которая поражала бы цель смертоносным лучом, изобрел логарифмы, о чем сообщалось в публикации 1614 года. Таблицы Непера, расчет которых требовал очень много времени, были позже "встроены" в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления – логарифмическая линейка.

В 1614 году шотландский математик Джон Непер изобрел таблицы логарифмов. Принцип их заключался в том, что каждому числу соответствует свое специальное число - логарифм. Логарифмы очень упрощают деление и умножение. Например, для умножения двух чисел складывают их логарифмы, результат находят в таблице логарифмов. В дальнейшем им была изобретена логарифмическая линейка, которой пользовались до70-х годов нашего века.

Логарифмическая спираль. Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния.

Логарифмическая спираль. Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (г.г.). Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям Поэтому раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали.

Рога таких рогатых млекопитающих, как архары – горные козлы, закручены по логарифмической спирали. В подсолнухе семечки расположены по дугам близким к логарифмическим спиралям. Один из наиболее распространенных видов пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Тема: Свойства логарифмов.

Цели : 1. Обучающие: формирование умения выполнять тождественные преобразования,

используя свойства логарифмов.

2. Развивающие цели: развитие самостоятельности мышления, умения

обосновывать свое решение.

3. Воспитательные цели: способствовать воспитанию познавательной потребности

учащихся путем создания проблемной ситуации.

Основные понятия: логарифм произведения,

логарифм частного, логарифм степени.

Самостоятельная деятельность учащихся: решение задач по теме «Свойства логарифмов»

Основополагающий вопрос : А можно ли без них?

Проблемный вопрос:

Актуализация. (3 минуты.)

Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) заметил: «Что учиться можно только весело. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».

Последуем совету писателя: будем активны на уроке, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием.

Задача стоит такая: научиться решать логарифмические выражения с использованием свойств логарифмов.

1. Обсуждение № 180(3) из дом. Задания

log 0,2 log 2 (2x+3)

log 0,2 log 2 (2x+3)log 0,2 5

log 2 (2x+3)log 2 32

Вычислите:

а) log 1/3 1/3 в) log 1/3 1/9 д) log 1/3 9

б) log 1/3 3 г) log 1/3 1 е)log 1/3

3.Укажите область определения функции:

а)y=log 3 x в) y=log 3 |x|

б) y=log 3 (x-1) г) y=log 3 (-x)

4.Определите характер монотонности функции:

а) y=log 3 x б) y=log 1/3 x в) y= -log 5 x

Изучение нового материала .(10 минут.)

Проблемный вопрос:

Как вывести свойства логарифмов, используя свойства степеней?

а x =b x=log a b

а y =c y=log a c

вc=a x b y = a log а b a log a c = a log a b+ log a c

log a (bc)=log a b+log a c

Аналогично можно получить логарифм частного и степени:

log a b/c= log a b- log a c

log a b р = р log a b

Переход к логарифму с новым основанием.

log a b = x , a x =b (логарифмируем)

log c a x =log c b

x log c a = log c b

x= log c b / log c a

log a p b = 1 /p log a b(вынесение показателя степени основания)

(Формулы занести в таблицу)

Учащиеся копируют таблицу в тетрадях.

Iii. Применение. (20 минут.)

№ 182 (1-5) (учащиеся анализируют задания на предмет возможности использования

свойств логарифмов)

log 6 2+ log 6 3

log 1/15 25 + log 1/15 9

log 3 12 – log 3 4

log 2 12+ log 0,5 3

log 3 18 + log 1/3 2

Вопросы к данному номеру:

Одинаковы ли основания логарифмов в задании?

С какой частью таблицы будете работать?

Какую формулу из таблицы примените?

Что в результате получите?

Запишите вычисления.

соответствующей формулы, назвать получившиеся выражения и его

значение.

№ 183 (1,2)- фронтально.

Зная, что log 6 2=a выразите через выражение 1) log 6 16

№ 183 (3,4)- самостоятельно.

(Ответы: в 3) 7,5а; в 4) -4а)

№ 183 (5)- фронтально

log 2 6= log 6 6 / log 6 2=1/a

(Ученики должны заметить, что данный логарифм имеет другое основание и используя результат данного задания получить ещё одну формулу log a b= 1/log b a)

Работа по учебнику: пример №1.

log 2 x = 3-4log 2 + 3log 2 3

3- 4 log 2 + 3 log 2 3 = log 2 2 3 – log 2 () 4 + log 2 3 3 = log 2 2 3 3 3 /() 4 =log 2 8* 3 3 /3 2 =

Log 2 (8*3)=log 2 24

log 2 x= log 2 24, x=24

Из рассмотренного примера учащиеся знакомятся с новым термином «потенцирование»- нахождение числа по известному логарифму.

№ 185 (2)- самостоятельно

(Ответ: а=20,25)

IV . Домашнее задание: п. 11(пр.1); (1 минута.)

№ 181(1)- вывод формулы логарифм частного

№ 182 (3,5,7 *)

V . Итог урока: (1 минута)

Вывод: - какую тему рассмотрели?

Какая задача стояла на уроке?

Какие свойства логарифмов вы знаете?

Чему равен логарифм произведения?

Чему равен логарифм частного?

Чему равен логарифм степени?

Выставление оценок с пояснением.

VI . Информационные ресурсы:

Г. К. Муравин, О. В. Муравина

Алгебра и начала анализа.

Г. К. Муравин, О. В. Муравина

Алгебра и начала анализа. Учебник 10кл. М.: Дрофа, 2004г.

А. Я. Симонов и др.

Система тренировочных задач и упражнений по математике. М.: Просвещение, 1998г.

v . Кросснамбер. (в переводе с английского – кресточислица) –один из видов

числовых ребусов.

Улан-Удэнский институт железнодорожного транспорта -

филиал ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Стогова О.О.

Улан - Удэнского колледжа железнодорожного транспорта

Рецензенты –– Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта, методист.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого занятия по математике

по теме «Логарифмы и их свойства»

Стогова О.О.

Пояснительная записка

Данное занятие рассматривается в разделе курса алгебры «Корни, степени и логарифмы» и является последним занятием по теме «Логарифмы и их свойства». Эта тема помогает дальнейшему развитию пространственного представления и изобразительных умений; логического мышления и речи; умения проводить систематизацию.

В ходе занятия формируется и совершенствуется математический язык (словесный, символический); качества личности, необходимые для жизни в современном мире (ясность, точность мысли, интуиция); отношение к математике как к части общечеловеческой культуры. На занятии ведется повторение определения логарифма, свойств логарифма, формул применяемых для преобразований выражений, с опорой на ранее изученный материал степени и корни; при решении показывается связь между данными темами, а также связь темы с внешним миром. Последнее является важным звеном в сознательном восприятии учебного материала. Для обеспечения оптимального взаимодействия между преподавателем и студентами на занятии предусмотрены: организация проблемного диалога; использование «готовых» знаний; применение обучающих серий; использование кроссворда, таблиц; компьютерная презентация; самостоятельная работа; работа в парах; в группе, само- и взаимоконтроль, тестирование.

Для поддержания интереса и устойчивой концентрации внимания предусмотрена смена видов деятельности: фронтальная работа – учебный диалог; индивидуальная работа – работа в паре или группе; компьютерная презентация – знакомство с новым материалом и новыми понятиями; самостоятельная работа – закрепление материала; работа в парах и в группах – решение задач; компьютерная презентация – связь с реальным миром.

Контроль над деятельностью студентов в ходе занятия осуществляется со стороны преподавателя, предусмотрены самоконтроль, самооценивание и взаимооценивание.

Технологическая карта занятия

Дисциплина: математика группа ЭПСл-13143

Преподаватель: Стогова Ольга Олеговна

Тема: Свойства логарифма

Тип занятия:

Вид/ Форма: занятие-практикум/ фронтальная, групповая, индивидуальная, парная.

Цель:

Образовательная

Развивающая : развивать навыки самоконтроля, логическое мышление, пространственное восприятие, познавательный интерес, математически грамотную речь, прививать любовь и бережное отношение к природе;

Воспитательная : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность, усидчивость.

информационно – иллюстративный; проблемный диалог; дидактическая игра, самостоятельная работа, элементы информационных технологий.

В результате проведения занятия формируются следующие компетенции:

Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество;

Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личного роста.

Самостоятельно определять задачи профессионального и личного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение профессионального и личностного развития.

Работать в коллективе и команде, эффективно общаться, брать на себя ответственность за работу членов команды, результат выполнения заданий.

После изучения данной темы студент должен

Знать: определение логарифма, логарифмическое тождество, свойства логарифма степени и корня, основные формулы применяемые для решения и преобразований.

Уметь: применять свойства и определения при решении, вычислении, упрощении, нахождении значений логарифмических выражений.

Обеспечение занятия:

ТСО, раздаточный материал и наглядные пособия:

Презентации по теме, лист самооценки (для каждого студента), плакат с кроссвордом, тест для самостоятельной работы, мультимедийный пректор, ноутбук, раздаточный материал.

2.Используемая литература:

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2013.

2. Богомолов Н.В.Практические занятия по математике. М.: Юрайт, 2013.

3.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.Учебник.,2015г

4.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.

Задачник.,2015г

Мотивационный компонент занятия: осознание значимости изучаемого материала, включение студентов в учебную деятельность, необычные элементы обучения, осознанное стремление работать вместе с другими, хорошо и быстро получать нужный всем результат

Междисциплинарные связи: алгебра, физика, астрономия

Внутри дисциплинарные связи:

Структура занятия:

Организационный этап (2мин.)

Приветствие, работа с журналом

Сообщение темы, целей, постановка учебных задач

Мотивация

Основной этап (84 мин.)

Актуализация знаний (17 мин)

Проверка домашнего задания(10 мин);

Интеллектуальная разминка(разгадывание кроссворда)

(работа в группе, по рядам)(7);

2.Формирование знаний, умений (17)

Проверка теоретических знаний (собери определение)(5)

Проверка свойств логарифмов(найди пару)(8)

3.Этап закрепление материала (50 мин.)

Дидактическая игра «Путешествие солнечной системе»(22)

Решение тестовой работы(12)

Найди ошибку(4)

Знакомство с дополнительным материалом.(12)

С помощью презентации «Дополнительная информация о логарифмах»,

рассматриваем о логарифмах в природе и других науках

Заключительный этап (4мин.)

Рефлексия

Домашнее задание

Итог занятия.

Тема: Логарифмы и их свойства

Тип занятия: комплексное применение знаний и умений

Вид/ Форма: занятие-практикум/ фронтальная, групповая, индивидуальная, коллективная.

Цель:

Образовательная обобщить, систематизировать и закрепить теоретические знания по данной теме и продолжить применение знаний при решении задач.

Развивающая : развивать сознательное восприятие учебного материала, зрительной памяти, развивать навыки самообучения, самоорганизации, самоконтроля, логическое мышление, познавательный интерес, математически грамотную речь, способствовать развитию творческой деятельности студентов.

Воспитательная : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитание познавательной активности, воспитать у студентов любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Применяемые методы, педагогические технологии:

Коммуникативный, информационно – иллюстративный; проблемный диалог; метод «неоконченных решений», самостоятельная работа, элементы информационных технологий, систематизирующий и контрольный.

Ход занятия.

I . Организационный этап.

1)Сообщаю тему, цель занятия и основные задачи (слайды 1,2)

Дорогие ребята, тема нашего занятия «Логарифмы, их свойства». На уроке мы должны систематизировать знания по этой теме, продолжить решения задач, рассмотреть нестандартные, практические задачи.

Я надеюсь на ваше внимание и активность на уроке, а также надеюсь, что занятие пройдет интересно и с пользой для всех нас. Откройте тетради, запишите число, тему. Обратите внимание на материалы на ваших столах. Начнем с того, что подпишем таблицу самооценки, в ней прописаны этапы для оценивания, и еще прошу обратите внимание на листы с лесенкой. Прочитайте внимательно, постарайтесь максимально честно зрительно поставить себя(т. е. свои знания по теме) на ступеньке этой лесенки.

Таблица самооценки студента Ф И:

Оценить работу на занятии по пятибалльной системе, по следующим этапам:

Определи свое место на этой лестнице

а) в начале сегодняшнего занятия ;

б) в конце сегодняшнего занятия ;

II . Основной этап.

2)Проверка домашней работы.

Домашнее задание состоит из четырех заданий, решение заданий ребята заранее готовят на доске, выходят по одному и каждое задание объясняют.

1.Вычислите:

0,7(2 + = 2,1

1) ; 2)2+ ; 3) 4) 3 = 2,1

Вычислите:

Решение: выполняем по действиям

1) 2)

3) Упростите выражение:

4) Найти значение выражения:

= + = 6+8 = 14

Решение: выполняем по действиям

1); 2); 3)

4)

Студенты проверив свое решение, ставят себе оценку за домашнее задание в таблицу самооценки.

3)Интеллектуальная разминка:

разгадывание кроссворда, состоящего из вопросов на знание основных математических понятий, определение и свойств логарифма, исторических моментов.

Работа выполняется в паре, осуществляется на листах и затем проверяется на большом плакате. Подводим итог этому этапу по рядам, какой ряд дал больше правильных ответов.

Материал для интеллектуальной разминки:

По горизонтали

По вертикали

3.Формулировка раскрывающая содержание понятия (определение)

4.Сопровождение доказательства наглядным примером(иллюстрация)

5.Логарифм в основании которого лежит число Эйлера (натуральный)

8. Конструкция (построение)

10.Главная часть логарифма (основание)

11.Создатель таблицы логарифмов(Непер)

12.Третий вид формулы, выражающий свойство логарифмов(Степень)

1.Логарифм по основанию 10 (десятичный)

2.Логарифм этого числа по основанию 2 равен 4(шестнадцать)

5.Числа используемые для счета предметов(натуральные)

6.Из определения логарифма, следует логарифмическое…(тождество)

7.Показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число(логарифм)

9.Вид формулы логарифма(произведение)

4)Собери определение логарифма или рассматриваемые три теоремы.

Определение или теорема дается в разрезанном виде по словам, каждая группа(4 человека) собирает данное им задание. Проверяем с помощью слайдов (3,4,5,6).Преподаватель, вместе со студентами анализирует работу каждой группы и затем они выставляют себе оценку в таблице за данный этап урока.

1)Логарифмом положительного числа в по положительному и отличному от1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число в .

2)Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел

3)Логарифм частного (где - положительные числа, причем ) равен разности логарифмов числителя и знаменателя

log a (b: c) = log a b – log a c

4)Логарифм степени (где положительные числа и )

равен произведению показателя степени на логарифм основания степени

5)Проверка теоретических знаний, основных формул, «Найди пару»

Данное задание выполняется по теме «Логарифмы и их свойства», осуществляется так: для определения или формулы найти продолжение. Выполненная работа проверяется взаимопроверкой, с выставлением оценки в таблицу самооценки.

n · log a x ;

log a a

log a ( x · y )

log a x − log a y

log a 1

log a ( x : y )

log a x + log a y

log a x n

11

11

log 3 27

12

12

log 2 4

13

13

5) Дидактическая игра « Путешествие по солнечной системе».

Этот этап урока имеет свое название «Путешествие по Солнечной системе». Давайте вспомним сколько планет в Солнечной системе? Всего 9 планет. Они обозначены квадратиками на приведенной схеме. От каждого квадрата проведено несколько стрелок. Стрелки означают возможные этапы нашего воображаемого путешествия от планеты к планете. Мы должны посетить все планеты, не побывав дважды ни на одной из них. Но на нашей схеме к каждому квадратику проведены 3 или даже более стрелок. Это значит, что всякий раз нам предлагается несколько вариантов передвижения. Но какой вариант выбрать? По какой стрелке пойти?

Верный путь нам подскажет ответ задачи, которую мы решим на каждой планете. К задаче даются от 3 до 8 вариантов ответа. Все они зашифрованы цифрами от1 до3; 5 или 8. Найдя верный ответ, мы получаем руководство к действию, то есть узнаем ту цифру, рядом с которой стоит стрелка, указывающая безошибочное на данном этапе направление движения.

Свое путешествие мы начнем с ближайшей к Солнцу планеты. Это… (Кто знает?) Да, с планеты Меркурий. Мы летим на планету Меркурий: находим карточку, где написана задача про эту планету и решаем ее. Получив ответ, находим его номер среди номеров, предложенных вариантов ответа и продолжим свой путь в направлении, какое указывает стрелкой, стоящей у найденного номера. (Класс разбит на 6 групп по 4 человека в каждой группе и каждая группа выполняет задание.)

Задача планеты Меркурий

Расстояние Меркурия от Солнца составляет приблизительно млн км. Но межпланетные расстояния принято считать не в километрах, а в астрономических единицах. Одна астрономическая единица равна расстоянию от Земли до Солнца, т.е.300 млн км. Какую часть астрономической единицы составляет расстояние от Меркурия до Солнца?

Варианты ответов:1)
; 2)
; 3) ; 4)
млн км; 5) .

Решение: 300
= (частей) стоит под номером 5. От этого номера проведена стрелка к квадрату Сатурн. Значит наше путешествие к планете Сатурн.

Задача планеты Сатурн

По своим размерам Сатурн уступает лишь Юпитеру: ее диаметр – 120000км.

У этой планеты достаточно много спутников. Диаметры наибольших из них, Титана и Реи, составляют соответственно и

части диаметра Сатурна. У кого из спутников диаметр больше.

Варианты ответов: 1) Их диаметры равны; 2) Диаметр Титана больше;

3) Диаметр Реи больше.

Решение: Диаметр Титана больше, так как и

и значит . Ответ – 2. От него стрелка направлена к квадратику Венера. Летим к этой планете. По силе блеска Венера - третье светило неба, после Солнца и Луны. Венера ближе к Солнцу, чем Земля и ее можно увидеть рядом с Солнцем во время утренней или вечерней зари.

Задача планеты Венера

Планета Венера получает от Солнца много тепла и света. Расчеты показали, что 0,5 венерианского года температура поверхности Венеры равна (240 0 С, 0,3 этого времени температура составляет С, а остальную часть года на Венере «прохладно»

0 С. Какую же часть венерианского года на поверхности планеты температура самая низкая?

Варианты ответов:

1) 0,2; 2); 3) 0.5; 4); 5)- 420 0 C ; 6)450 0 C ; 7) 480 0 C ; 8) 6.

Решение: (240 0 С=С; 0 С= Год принимается за единицу, тогда 0,5 + 0,3 = 0,8. 1 - 0,8 = 0,2 - под номером 1. Летим к планете Нептун.

Задача планеты Нептун

Земной год (годом называют период обращения планеты вокруг Солнца) равен )суток. А вот год на Нептуне не прожил бы, пожалуй, ни один человек. Год на Нептуне длится

() земного года. За сколько же земных суток Нептун делает полный оборот вокруг Солнца?

Варианты ответов: 1) 60193 ; 2)
; 3)
.

Решение: Земной год составляет суток

год на Нептуне длится() = 164 земного года.

365  164 = 60193 – под номером 1. Мы направляемся к планете Земля.

Задача планеты Земля

По астрономическим меркам, Луна находится совсем недалеко от Земли: до нее всего примерно )км. Сколько секунд займет путешествие от Земли до Луны и обратно, если воспользоваться ракетой, летящей со скоростью, близкой к скорости звука – ( мс?

Варианты ответов:

1) 2 000 000сек; 2)1000000 c ек; 3)2000 сек; 4) 1000 сек; 5)340000 сек.

Решение: 340 000км; =340 мс

340 000 км = 340 000 000 м 340 000 000: 340 м/с = 1 000 000 сек. И обратный путь займет столько же времени, значит 2 000 000 сек. Ответ под номером 1. Стрелка к планете Марс.

Задача планеты Марс

Во сколько раз ракета тяжелее на Земле, чем на Марсе, если известно, что один «земной» килограмм весит на Марсе ( кг.

Варианты ответов: 1) в 2,777… раза; 2) в 1,36 раза; 3) в 3,6 раза.

Решение: Переведем в число ( кг = 0,36. Ракета на Земле будет во столько же раз тяжелее, чем на Марсе во сколько 1 кг на Земле тяжелее, чем на Марсе, то есть 1: 0,36 = 2,777… раза.

Ответ зашифрован под номером 1. Летим к Плутону.

Задача планеты Плутон

Плутон делает полный оборот вокруг собственной оси за

Земных суток. Сколько оборотов (ответ округлить до сотых) сделает Плутон за 3 земных года? Земной год составляет

Земных суток.

Варианты ответов: 1) 173,58; 2) 171,48; 3) 777,983;

4) 777,98; 5) 57,160.

Решение: Плутон делает полный оборот ) = 6,39

Земной год составляет = 365, 25 суток

365,25  3 = 1095, 75 (земных суток за 3 года). За это время Плутон

1095, 75: 6,39 = 171, 478…Округляем до сотых 171,48. Ответ зашифрован под номером 2. Летим к планете Уран. Эта планета окружена огромным количеством облаков, которые движутся с большими скоростями.

Задача планеты Уран

Облака на этой планете могут мчаться со скоростью от

Км час до скорости, в полтора раза большей. Найти разность между максимальной и минимальной скоростями движения облаков.

Варианты ответов: 1)
кмчас; 2) 248кмчас; 3) кмчас; 4) 251кмчас; 5) 125,15 кмчас.

Решение: Максимальная скорость= 250,3км/час

250,3  1,5 = 375,45 км/ч. Минимальная – 250,3 км/ч. Тогда разность между ними 375,45 – 250,3 = 125,15 км/ч.

Задача планеты Юпитер

Масса планеты Сатурн в 3,3 раза меньше массы планеты Юпитер, масса которого в 20,9 раза больше массы Урана, масса которого в 1,5 раза меньше массы планеты Нептун, масса которого больше массы Венеры в 2 раза. Найти массу планеты Юпитер, если масса Венеры .

Варианты ответов: 1) 11286; 2) 23357; 3) 22987.

Решение: Венера –= 405; значит Нептун – 810; Уран – 540; Юпитер – 540  20,9 = 11286.

Подведем итог путешествию по Солнечной системе в таблице самооценки.

6)Самостоятельная работа(тестовые задания)

Вариант №1.
1. Найдите значение выражения:

а)-2; б)4; в)-4; г)

2. Найдите значение выражения:

а)2,36; б)1,64; в)-2,36; г) 0,8.

3. Найдите значение выражения:

а)-; б)4; в)1; г) .

4. Найдите значение выражения:

3 + log 30 3 + log 30 10.

а)-3; б)4; в)-4; г) .

5. Найдите х, если:

; б)4; в)-8; г)

.

а); б)4; в)6; г) .

5. Найдите значение выражения:

а)36; б)81; в)243; г)216.

Собрав листы с ответами, ребята обменявшись тетрадями с соседом, проверяют (ответы приводится на слайде 10) и оценивают друг друга, выставляя оценку в таблицу.

7)Данный этап занятия обозначен как «Умение проводить экспертизу», это значит вы должны посчитать итоговую оценку за занятие. Подводят итог.

8)Этап «Найди ошибку» оценивается индивидуально, т.е. кто найдет ошибку в задании, тот и получает дополнительную оценку в журнал. На слайде 11 приводится решение математического софизма.

Логарифмический софизм.

Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование , тоже не вызывающее сомнений. Большему значению соответствует больший логарифм, значит, , т.е. .
После сокращения на , имеем 2>3.

Ответ был дан студентом Лапиным Олегом, он догадался, что число

lg = - lg 2 отрицательное и знак неравенства необходимо было поменять на противоположный, тогда 2< 3.

9)Дополнительная информация о логарифмах.

Где в жизни, на практике, в природе, встречаются логарифмы,

которые могут использоваться в повседневной жизни, а также в

каких областях других наук используются логарифмы (использование

презентации, приложение 2). По данному вопросу выступит Владимир Скалий.

III . Заключительный этап

Домашнее задание№14,15,16,17 из дополнительных источников;

Итог занятия: ребята подсчитав средний результат по четырем этапам, получают оценку за занятие. Кто поставил себе за работу на уроке отлично? Хорошо? Кто считает, что ему надо еще повторить этот материал?

Отличившимся студентам выставляется по две оценки.

Заключительное слово преподавателя:

Обратили внимание на лесенку, если вы за нашу пару продвинулись хотя бы на одну ступеньку вверх, т. е. вы узнали что-то новое, то это уже успех!

Так как человек, который сдвинул гору, начинал с того, что перетаскивал с места на место мелкие камни!

Самоанализ открытого занятия.

1.Общая характеристика группы.
Открытое занятие проводилось в группе ЭПСл-13143. Студенты данной группы имеют средний и ниже среднего уровни мотивации к обучению, довольно развитые способности к изучению математики у половины группы, остальная часть группы стараются, делают попытки что- то понять и усвоить.

2.Определение целей, задач урока, формы его проведения.

Результаты проведенного занятия позволяют сделать вывод о правильности выбора целей, определения задач и формы проведения занятия. В ходе занятия были закреплены определение, основные свойства логарифма, освоенные знания были применены для решения конкретных примеров. Применение разнообразных методов способствовало развитию у студентов математического вкуса и интуиции; формированию логики мышления. Форма проведения занятия способствовала развитию культуры научных и учебных взаимоотношений между студентами, между студентами и преподавателем. Решая задания студенты осознали необходимость умения вести дискуссию и излагать свои идеи, грамотно ссылаться на математические факты и понятия. На занятии царила атмосфера сотрудничества.

3.Структура занятия.

Структура занятия находится в полном соответствии с поставленными задачами. Каждый этап занятия являлся полноправной, логически обоснованной и завершенной частью схемы занятия. В ходе занятия были проконтролированы знания студентов теоретического материала по данной теме. В работе по теоретическому материалу основная масса студентов продемонстрировала живой интерес к данной теме. В процессе решения конкретных примеров ребята дискутировали, предлагали свои подходы к решению задач, активно принимались за решение задач, в том числе и предложенных к самостоятельному решению. Всему этому способствовали применяемые методы обучения, используемые на занятии.

4.Итоги урока.

План открытого занятия выполнен полностью; цели урока достигнуты, формы и методы соответствовали поставленным целям. Структура и логика построения занятия способствовали достижению цели. В ходе занятия студенты были включены в активную познавательную деятельность.

Проведенное открытое занятие продемонстрировало заинтересованность студентов, способствовало формированию у каждого из них собственных методов организации научной и учебно-познавательной деятельности.

Результаты обучения ориентированы на самооценку студентов, на формирование адекватной самооценки. На занятии проводилась оценка промежуточных результатов обучения, велась динамика результатов обучения студентов относительно самих себя.

Тема: «Свойства логарифмов»

Цели урока:

Создать условия для личностной самореализации каждого обучающегося в процессе повторения темы «Свойства логарифмов», способствовать развитию информационных, коммуникативных, образовательных, рефлексивных, здоровьесберегающих компетенций.

Задачи урока :

Расширить представления обучающихся о логарифмах,применении их для преобразования выражений, содержащих логарифмы; применении свойств логарифмов в нестандартных ситуациях;

Способствовать развитию мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций;

Способствовать развитию интереса к истории математики и ее практическим приложениям и математической грамотности речи обучающихся;

Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, диалога.

Оборудование и материалы к уроку: презентация к уроку, мультимедийный проектор, компьютер, экран, карточки с заданиями, раздаточный материал, тест «Преобразование логарифмических выражений»

Тип урока : комбинированный

Форма урока: классно-урочная

Форма работы: групповая, фронтальная, индивидуальная.

Технологии урока : личностно-ориентированная, ИКТ, игровые технологии, технология дифференцированного обучения.

Ход урока:

Организационный момент (приветствие, проверка готовности обучающихся к уроку).

Постановка цели.

Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание древнекитайского философа

Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий и
путь опыта – это путь самый горький.

Конфуций

Значит, на уроке мы будем размышлять, подражать , т.е. делать по образцу и набираться опыта.
Наша цель обобщить и систематизировать полученные знания по теме «Свойства логарифмов»

3. Устная работа.

Я хочу вампредложить сыграть в морской бой. Я называю букву строки и номер столбца, а вы называете ответ и ищете соответствующую букву в таблице.

Разминка «Морской бой»

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

B

C

D

E

F

G

E 6, A 4, F 5, B 9, G 8, F 1, C 4, E 1, D 5 ДЖОН НЕПЕР

Проверка результатов.

Джон Непер - шотландский математик. (Слайд 3)Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». После 25-летних вычислений он опубликовал свои таблицы только в 1614 году. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц». В Непера посетил профессор математики . Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (). Они уже включали десятичные, а не натуральные, логарифмы, и не только синусов, но и самих чисел (от 1 до 1000, с 14 знаками). Логарифм единицы теперь, как положено, был равен нулю.

Уильям Отред - английский математик. (Слайд 4) Известен как изобретатель () и один из создателей современной математической символики. Во всём мире логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала годов, когда они были вытеснены . Отред - автор нескольких стандартных в современной математике обозначений и : Слайд 5

Пьер Лаплас - французский математик. (Слайд 6) Почти четыреста лет прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы. Значение логарифмов трудно переоценить. Они нужны инженеру и астроному, штурману и артиллеристу, всем, кому приходится вести громоздкие вычисления. Совершенно прав великий французский математик и астроном Лаплас, который сказал: «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов» Слайд 7

В подтверждение покажем, как свойства логарифмов упрощают вычисления. Развиваем гибкость ума через решение задач.

4. Обобщение и систематизация знаний.

Сколько красивых формул в этой теме мы встречаем.

Задание: Закончить предложение.

На доске:

Какая в них гармония, красота! Но, в то же время, они не только знаки, в них сконцентрирован огромный смысл!

В Заданиях профильного и базового уровней ЕГЭ обязательно присутствие логарифмических уравнений, неравенств, упрощение логарифмических выражений.

Эти задания я взяла из демоварианта ЕГЭ-2015.

Задания на карточке.

№3.

№4.

№5.

=

Тест.

ТЕСТ 1 состоит из 10 примеров на знание свойств логарифмов. ТЕСТ 2 состоит из 5 примеров на знание свойств логарифмов. Обучающиеся выбирают уровень сложности теста.

Домашнее задание.

Софизм

Софизм (от греч. sophisma - уловка, выдумка, головоломка), рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. Обычно софизм обосновывает какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Предлагаю вам проанализировать логарифмический софизм Слайд 18

Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование , тоже не вызывающее сомнений.

Большему значению соответствует больший логарифм, значит, , т.е. .
После сокращения на , имеем 2>3.

Обсуждение, поиск ошибки.

7. Подведение итогов.

Анализ хода урока и его основных моментов.

Оценивание деятельности каждого обучающегося на уроке.

Результаты теста.

8. Домашнее задание.

9. Заключительное слово учителя.

У великого геометра древности Фалеса спросили:

- Что есть больше всего?

- Пространство, - ответил Фалес

- Что мудрее всего?

- Время.

- Что приятнее всего?

- Достичь желаемого.

Через несколько месяцев желания многих из вас сбудутся. Я желаю вам удачи в достижении этих желаний, но не забывайте о том, что желания ваши исполнятся не по волшебству. Вам надо ещё немного потрудиться, бросить все свои силы на подготовку к экзаменам.

Спасибо за сотрудничество.

Найди букву строки и номер столбца, узнай ответ и ищи соответствующую букву в таблице.

E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2

Найди букву строки и номер столбца, узнай ответ и ищи соответствующую букву в таблице.

E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2

Найди букву строки и номер столбца, узнай ответ и ищи соответствующую букву в таблице.

E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2

Найди букву строки и номер столбца, узнай ответ и ищи соответствующую букву в таблице.

E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2

Log 2,5 0,4

а) 4 б) 5 в) 6 г) 4,5

4. Вычислить: log 2 7 – log 2

а) 3 б) 4 в) 1 г) 16

5. Вычислить: 4 2log43

а) 9 б) 1 в) 6 г) 8

6. Вычислить: log 0,3 9 – 2log 0,3 10

а) 2 б) 1 в) – 2 г) 90

7. Вычислить: log 12 – log 12 9

а) 1 б) 2 в) – 2 г) 12

8. Вычислить: 2 log23 + log 7 2 – log 7 14

а) 2 б) 7 в) (2 + 2log 7 2) г) 3

9. Вычислить: log 125 5 – log √2 + log 2,5 0,4

а) 4 б) – 3,5 в) 0 г) 4/3

10. Вычислить: 6 log50,2 +log615

а) 2,5 б) 15log 5 0,2 в) 5/6 г) 15

"Возьми столько, сколько ты можешь и хочешь,
но не меньше обязательного".

Цели урока:

• знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества;
• уметь применять определение логарифма и основное логарифмическое тождество при решении упражнений;
• познакомиться со свойствами логарифмов;
• научиться различать свойства логарифмов по их записи;
• научиться применять свойства логарифмов при решении заданий;
• закрепить вычислительные навыки;
• продолжить работу над математической речью.
• формировать навыки самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний;
• развивать умение выделять главное при работе с текстом;
• формировать самостоятельность мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия;
• показать учащимся роль систематической работы по углублению и повышению прочности знаний, по культуре выполнения заданий;
• развивать творческие способности учащихся.

Базовые знания:

• определение показательной функции;
• свойства показательной функции;
• определение показательного уравнения, основные методы и приёмы решения показательных уравнений;

Тип урока: сообщение новых знаний.

Методы работы:

• проблемный;
• частично-поисковый.

Виды работ:

• индивидуальная;
• коллективная;
• индивидуально-коллективная;
• фронтальная.

Мотивация познавательной деятельности: на занятии необходимо предоставить учащимся возможность проявить сообразительность, смекалку в формировании навыков самостоятельной работы, работы с учебником, навыков самостоятельного добывания знаний.

Время проведения: 1,5 часа

Оборудование:

• таблица свойств логарифмов;
• текст «Из истории логарифмов»;
• плакаты;
• карточки-задания;
• обучающие карточки;
• набор тестов;
• сигнальные часы;
• ПК учителя, мультимедийный проектор;
• Презентация , содержащая материал для повторения и закрепления теоретических знаний, для отработки навыков практического применения теории к решению упражнений, создания проблемной ситуации, для самоконтроля, содержащая сведения из истории логарифмов

План урока

1. Организационный момент. 1 мин.
2. Постановка цели. 1 мин.
3. Проверка ранее изученного материала 5 мин
4. Введение понятия логарифм.
   1. Определение логарифма. 5 мин
   2. Историческая справка 10 мин
   3. Логарифмическая линейка 10 мин
   4. Основное логарифмическое тождество. 10 мин
   5. Основные свойства логарифмов 10 мин
5. Обобщение и систематизация знаний. 7 мин.
6. Домашнее задание. 1 мин.
7. Творческое применение знаний, умений и навыков. 25 мин.
8. Подведение итогов. 5 мин.

Ход урока:

1. Организационный момент. Приветствие .

2. Постановка цели.

Ребята, сегодня на уроке вам предстоит проверить умения решать простейшие показательные уравнения, чтобы можно было ввести новое для вас понятие, затем познакомимся со свойствами нового понятия; вы должны научиться различать эти свойства по их записи; научиться применять эти свойства при решении заданий.

Будьте собраны, внимательны и наблюдательны. Успехов!

3. Проверка ранее изученного материала. (слайды 1–2)

Учащимся предлагается определить тему урока, решив уравнения

2 х =; 3 х =; 5 х = 1 / 125 ; 2 х = 1 / 4 ;
2 х = 4; 3 х = 81; 7 х = 1 / 7 ; 3 х = 1 / 81

– Назовите новое понятие, с которым мы познакомимся:

4. Введение понятия логарифм. (слайды 3,4)

– Тема нашего урока “Логарифм, его свойства”. Попробуйте найти корень уравнения 2 х = 5. Ответ данного уравнения мы можем записать с помощью нового понятия. Прочитайте текст слайда и запишите корень уравнения.

4.1. Определение логарифма (слайды 5–7)

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

1) log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100 (определение логарифма и свойства степени),
2) log 5 5 3 = 3, т.к. 5 3 = 5 3 (…),
3) log 4 = –1, т.к. 4 –1 = (…).

4.2. Историческая справка (слайды 8–11)

Из истории логарифмов.

4.3. Логарифмическая линейка

Линейка, бабушка компьютера.

Из истории возникновения логарифма

4.4. Основное логарифмическое тождество (слайды 12-14)

В записи b=a t число a является основанием степени, t - показателем, b - степенью. Число t - это показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Следовательно, t - это логарифм числа b по основанию a : t=log a b .
Подставляя в равенстве t=log a b выражение b в виде степени, получим еще одно тождество:

log a a t =t .

Можно сказать, что формулы a t =b и t=log a b равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, b и t (при a>0, a 1, b>0 ). Число t - произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.
Подставляя в равенство a t =b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством :

=b .

1) (3 2) log 3 7 = (3 log 3 7) 2 = 7 2 = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
2) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3) 2 = 3 2 = 9 (…),
3) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5) 3 = 5 3 = 125 (…),
4) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10) 2 = 10 2 = 100 (…).

4.5 Основные свойства логарифмов (слайд 15)

Вы замечательно справились с примерами. А теперь вычислите следующие задания, записанные на доске:

а) log 15 3 + log 15 5 = …,
б) log 15 45 – log 15 3 = …,
в) log 4 8 =…,
г) 7 = … .

А как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
Если у учащихся возникают затруднения, то задать вопрос: “Чтобы выполнять действия со степенями, что надо знать?” (Ответ: “Свойства степени”). Ещё раз задать первоначальный вопрос. (Свойства логарифмов)

Перед вами таблица со свойствами логарифмов. Надо дать название каждому свойству и правильно сформулировать их”.

Слайд 16

5. Обобщение и систематизация знаний .

Слайды 17-20

6. Домашнее задание. (слайд 23)

7. Творческое применение знаний, умений и навыков. (слайды 21 – 22)

Работа по карточкам

8. Подведение итогов.

Дайте ответы на вопросы

– Сформулируйте определение логарифма и выполните соответствующую запись.
– Какие виды логарифмов существуют? Выполните их запись.
– Запишите основное логарифмическое тождество.

– Происхождение слова “логарифм”. Кто изобрел логарифмы, в каком году, краткие сведения о них?
– Кто ввел логарифм с основанием е, который называют натуральным логарифмом?
– Из чего возникла практика использования логарифмов?
– Кто и когда изобрел первую логарифмическую линейку, первые таблицы логарифмов?