Числовые ряды основные понятия и определения. Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения. Расходимость знакопеременных рядов

Основные определения.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называетсячисловым рядом .

При этом числа
будем называть членами ряда, аu n – общим членом ряда.

Определение. Суммы
,n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S 1 , S 2 , …, S n , …

Определение. Ряд
называетсясходящимся , если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов.

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда
и
, где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд
сходится и его сумма равна S , то ряд
тоже сходится, и его сумма равна С S . (C  0)

3) Рассмотрим два ряда
и
.Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд
, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды
и
сходятся и их суммы равны соответственно S и  , то ряд
тоже сходится и его сумма равна S +  .

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал такой номер N , что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

Доказательство. (необходимость)

Пусть
, тогда для любого числа
найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
. Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд
был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал номер N такой, что при n > N и любом p >0 выполнялось бы неравенство

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд
сходится, то необходимо, чтобы общий член u n стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем
- необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к.
при любомn .

Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для сходимости ряда
с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены .

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда
и
приu n , v n  0 .

Теорема. Если u n  v n при любом n , то из сходимости ряда
следует сходимость ряда
, а из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.

Доказательство. Обозначим через S n и  n частные суммы рядов
и
. Т.к. по условию теоремы ряд
сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всехn  n  M, где М – некоторое число. Но т.к. u n  v n , то S n   n то частные суммы ряда
тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к.
, а гармонический рядрасходится, то расходится и ряд
.

Пример.

Т.к.
, а ряд
сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд
тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если
и существует предел
, где h – число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут одинаково в смысле сходимости.

Признак Даламбера.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

Если для ряда
с положительными членами существует такое число q <1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие

то ряд
расходится.

Предельный признак Даламбера.

Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

Если существует предел
, то при  < 1 ряд сходится, а при  > 1 – расходится. Если  = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда

Вывод: ряд сходится.

Признак Коши. (радикальный признак)

Если для ряда
с неотрицательными членами существует такое число q <1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд
расходится.

Следствие. Если существует предел
, то при<1 ряд сходится, а при >1 ряд расходится.

Пример. Определить сходимость ряда
.

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда
.

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Если  (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Знакопеременные ряды.

Знакочередующиеся ряды.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

Признак Лейбница.

Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины u i убывают
и общий член стремится к нулю
, то ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

(2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Определение. Ряд
называетсяабсолютно сходящимся , если сходится ряд
.

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд
называетсяусловно сходящимся , если он сходится, а ряд
расходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть
- знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел
, то при<1 ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>

Признак Коши. Если существует предел
, то при<1 ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами .

Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда .

5) Если ряды исходятся абсолютно и их суммы равны соответственноS и , то ряд, составленный из всех произведений вида
взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равнаS  - произведению сумм перемножаемых рядов.

Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.

Функциональные последовательности.

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х , то ряд называется функциональным .

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х , при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости .

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Определение. Последовательность {f n (x ) } сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство

выполняется при n>N.

При выбранном значении >0 каждой точке отрезка соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка , будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка , т.е. будет общим для всех точек.

Определение. Последовательность {f n (x ) } равномерно сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка .

Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f (x )=0 , т.к.

Построим графики этой последовательности:

sinx

Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х .

Функциональные ряды.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда
называются функции

Определение. Функциональный ряд
называетсясходящимся в точке (х=х 0 ), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности
называетсясуммой ряда
в точкех 0 .

Определение. Совокупность всех значений х , для которых сходится ряд
называетсяобластью сходимости ряда.

Определение. Ряд
называетсяравномерно сходящимся на отрезке , если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  >0 существовал такой номер N ( ), что при n > N и любом целом p >0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [ a , b ].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд
сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [ a , b ], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами:

т.е. имеет место неравенство:

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд
мажорируется числовым рядом
.

Пример. Исследовать на сходимость ряд
.

Так как
всегда, то очевидно, что
.

При этом известно, что общегармонический ряд при=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-, -1)  (1, ) расходится.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда
- непрерывные на отрезке [ a , b ] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S (x ) есть непрерывная функция на отрезке [ a , b ].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [ a , b ] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [ a , b ] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку .

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда
сходящегося на отрезке [ a , b ] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных
сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х , можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

Получаем, что этот ряд сходится при
и расходится при
.

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница. ).

При х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд
сходится при x = x 1 , то он сходится и притом абсолютно для всех
.

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x < x 1 численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд
сходится, а значит ряд
сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд
сходится в точкех 1 , то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2с центром в точкех = 0.

Следствие. Если при х = х 1 ряд расходится, то он расходится для всех
.

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что
ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд расходится. При этом числоR называется радиусом сходимости . Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости .

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости
.

Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х . Общий член этого ряда стремится к нулю.

Теорема. Если степенной ряд
сходится для положительного значениях=х 1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри
.

Действия со степенными рядами.

1.Числовые ряды: основные понятия, необходимые условия сходимости ряда. Остаток ряда.

2.Ряды с положительными членами и признаки их сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши.

3. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.

1. Определение числового ряда. Сходимость

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Определение 1.1 . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

. (1.1)

Числа называютсячленами ряда , –общим или n–м членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления-го члена ряда по его номеру

Пример 1.1 . Пусть . Ряд

(1.2)

называется гармоническим рядом .

Пример 1.2 . Пусть ,Ряд

(1.3)

называется обобщенным гармоническим рядом . В частном случае при получается гармонический ряд.

Пример 1.3 . Пусть =. Ряд

называется рядом геометрической прогрессии .

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – суммапервых членов ряда, которая называетсяn -й частичной суммой , т. е.

…………………………….

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номераможет:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Определение 1.2 . Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число называетсясуммой ряда (1.1) и пишется

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.4. Доказать, что ряд

сходится, и найти его сумму.

Найдем n-ю частичную сумму данного ряда .

Общий член ряда представим в виде.

Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:

Пример 1.5 . Исследовать на сходимость ряд

Для этого ряда

. Следовательно, данный ряд расходится.

Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.

2. Основные свойства числовых рядов

Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман* , меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)

Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:

Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

Доказательство теоремы следует из того, что , и если

S – сумма ряда (1.1), то

Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2)однако, как будет показано ниже, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).

Если общий член ряда не стремится к нулю при, то этот ряд расходится.

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд

Для этого ряда

Следовательно, данный ряд расходится.

Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости.Для ряда (1.6) пределдля ряда (1.7) пределне существует.

Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).

Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда

Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства

Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды ,

сходятся,

сходится и его сумма равна т. е.

Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.

Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 - 1866), немецкий математик., меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)

Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

Доказательство теоремы следует из того, что, и если

S - сумма ряда (1.1), то

Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при, то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) однако, как будет показано ниже, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).

Если общий член ряда не стремится к нулю при, то этот ряд расходится.

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд

Для этого ряда

Следовательно, данный ряд расходится.

Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости. Для ряда (1.6) предел для ряда (1.7) предел не существует.

Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c - некоторое число, тогда

Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства

Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды ,

сходятся,

то и ряд

сходится и его сумма равна т. е.

Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.

Пример 2.3. Вычислить сумму ряда

Общий член ряда представим в виде

Тогда исходный ряд можно представить в виде почленной разности двух сходящихся рядов геометрической прогрессии

Используя формулу (1.8), вычислим суммы соответствующих рядов геометрической прогрессии.

Для первого ряда поэтому

Для второго ряда поэтому

Окончательно имеем

1 свойство .

Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ч.р.

РассмотримиПусть

Если существует конечный предел справа в (29.1), то существует и предел слева, и рядсходится

2 свойство .

Если рядсходится и имеет сумму S, то ряд

с = const, сходится и имеет сумму cS.

Пустьтогда

3 свойство .

Если рядысходятся и имеют суммысоответственно, то рядсходится и имеет сумму

Ряды с положительными членами. Признаки сравнения сходимости положительных рядов. Положительные ряды

Если a n ≥ 0 (n = 1, 2, 3, ...), то рядa 1 +a 2 +a 3 + ... называетсяположительным . В том случае, когда при всехn оказываетсяa n > 0, будем называть рядстрого положительным .

Положительные ряды обладают многими свойствами, сближающими их с обычными суммами конечного числа слагаемых.

Легко видеть, что частичная сумма S n =a 1 +a 2 + ... +a n положительного рядавозрастает (может быть, не строго) с увеличениемn . Так как всякая возрастающая числовая последовательность имеет конечный или бесконечный предел (причем члены последовательности не превосходят этого предела), то для любого положительного ряда существует предел

Этот предел будет конечным или бесконечным, смотря по тому, ограничено сверху или нет множество частичных сумм {S n }. Таким образом, имеет место

Теорема 1 . Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда множество его частичных сумм ограничено сверху.

Разумеется, у ряда не положительного ограниченность множества частичных сумм не обеспечивает сходимости, как это видно из примера ряда 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

Отметим еще, что частичные суммы сходящегося положительного ряда не превосходят его суммы.

Доказанная теорема сводит вопрос о сходимости положительного ряда к более простому вопросу об ограниченности множества его частичных сумм.

Рассмотрим, например, ряд (24)

в котором α > 1. Суммуэтого ряда можно записать так:

Так как сумма содержит 2 k слагаемых, а самое большое из них есть первое, то эта сумма не превосходит числа

Поэтому

Стоящая здесь справа сумма есть частичная сумма геометрической прогрессии

Как было доказано ранее эта прогрессия сходится (т. к. α > 1), и сумма ее равна

Так как прогрессия (25) также является рядом положительным, то ее частичные суммы не превосходят ее суммы (26). Тем более

Это неравенство установлено для любого m . Но для всякогоn можно найти такоеm , что 2 m - 1 >n .

Поэтому при всяком n оказываетсяи ряд (24) сходится.

Следует, однако, заметить, что непосредственное применение теоремы 1 встречается сравнительно редко.

Обычно применяют основанные на ней, но более удобные признаки сходимости рядов. Простейший из них - это так называемый признак сравнения рядов

Если каждый член положительного ряда не больше, чем имеющий тот же номер член другого ряда, то второй ряд называется мажорантным по отношению к первому.

Иначе говоря, ряд b 1 +b 2 +b 3 + ... является мажорантным по отношению к рядуa 1 +a 2 +a 3 + ..., если при всехn будетa n ≤b n .

Легко понять, что частичная сумма данного ряда не больше, чем (имеющая тот же номер) частичная сумма ряда мажорантного. Значит, если ограничены сверху частичные суммы мажорантного ряда, то это и подавно так для исходного ряда. Отсюда вытекает

Теорема 2. Если для положительного ряда существует сходящийся мажорантный ряд, то и сам этот ряд сходится. Если же данный ряд расходится, то расходится и всякий мажорантный для него ряд.

Рассмотрим, например, ряд (27)

предполагая α < 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.

Первый признак сравнения рядов. Пустьи- два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенстводля всехk = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости рядаследует сходимость, а из расходимости рядаследует расходимость. Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени егоk-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателяk-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть, разность показателей степени числителя и знаменателя равна2 – 3 = -1 , поэтому, для сравнения выбираем ряд сk-ым членом, то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.Пример. Установить сходимость или расходимость ряда.Решение. Так как предел общего члена ряда равен нулю, то необходимое условие сходимости ряда выполнено. Несложно заметить, что справедливо неравенстводля всех натуральныхk . Мы знаем, что гармонический рядрасходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.Пример. Исследуйте числовой рядна сходимость.Решение. Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как. Очевидно выполнение неравенствадля любого натурального значенияk . Рядсходится, так как обобщенно гармонический рядявляется сходящимся дляs > 1 . Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.Пример. Определите сходимость или расходимость числового ряда.Решение. , следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд, а чтобы определиться сs , внимательно исследуем числовую последовательность. Члены числовой последовательностивозрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номераN (а именно, сN = 1619 ), члены этой последовательности будут больше2 . Начиная с этого номераN , справедливо неравенство. Числовой рядсходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося рядаотбрасыванием первыхN – 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд, а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд.Второй признак сравнения. Пустьи- знакоположительные числовые ряды. Если, то из сходимости рядаследует сходимость. Если, то из расходимости числового рядаследует расходимость.Следствие. Еслии, то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость. Исследуем рядна сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве рядавозьмем сходящийся ряд. Найдем предел отношенияk-ых членов числовых рядов:Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового рядаследует сходимость исходного ряда.

Пример. Исследовать на сходимость числовой ряд.Решение. Проверим необходимое условие сходимости ряда. Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд. Найдем предел отношенияk-ых членов:Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения. Для информации приведем третий признак сравнения рядов.Третий признак сравнения. Пустьи- знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номераN выполняется условие, то из сходимости рядаследует сходимость, а из расходимости рядаследует расходимость.

Рассмотрим бесконечную последовательность чисел , т.е. множество чисел, в котором каждому натуральному числу n по определённому правилу соответствует некоторое число a n . Выражение вида называется числовым рядом , сами числа - членами ряда , - общим членом ряда . Коротко ряд записывают так: .

Суммы , в которых присутствуют только n первых членов ряда, называются частичными суммами ряда .

Числовой ряд называется сходящимся , если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел . Число S называется суммой ряда .

Если предел не существует, то ряд называется расходящимся .

Пример 1. Дана бесконечная геометрическая прогрессия . Составим ряд

и исследуем его на сходимость, исходя из определения сходимости ряда. Для этого составим частичную сумму =. Из школьного курса математики известно, что . Напомним, как это получается. Для доказательства произведём деление

Вычислим теперь предел , учитывая, что здесь возможны три случая:

2) если q = 1, то =и ,

3) если q = -1, то =, и , а = , и . Значит, последовательность частичных сумм единого предела не имеет.

Поэтому делаем вывод: геометрическая прогрессия сходится, если и расходится при .

Пример 2. Доказать расходимостьряда

Решение. Оценим частичную сумму ряда:

> , т.е. > ,

а предел частичной суммы равен бесконечности (по известной теореме о пределах: если x n > y n , то ): = ¥. Значит, данный ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов

Рассмотрим два ряда и . Второй ряд получен из первого путём отбрасывания первых m его членов. Этот ряд называется остатком ряда и обозначается r n .

Теорема 1 . Если члены сходящегося ряда умножить на некоторое число С , то сходимость ряда не нарушится, а сумма умножится на С .

Теорема 2 . Два сходящихся ряда можно почленно складывать (вычитать) и сумма полученного ряда будет равна , где - сумма первого ряда, а - сумма второго.

Теорема 3 . Если сходится ряд, то сходится любой из его остатков. Из сходимости остатка ряда следует сходимость самого ряда.

Можно сказать и по-другому: на сходимость ряда не влияет отбрасывание (или приписывание) конечного число членов ряда. И это свойство самое замечательное. Действительно, пусть сумма ряда равна бесконечности (ряд расходится). Мы складываем очень большое, но конечное число членов ряда. Эта сумма может быть очень большим, но, опять же, конечным числом. Так, значит, сумма остатка ряда, а там члены ряда уже ничтожно малые числа, всё равно равна бесконечности за счёт бесконечности числа слагаемых.

Теорема 4 . Необходимый признак сходимости.

Если ряд сходится, то его общий член a n стремится к нулю, т.е. .

Доказательство . Действительно,

И если ряд сходится, то и , а значит, при .

Отметим, что этот признак не является достаточным, т.е. ряд может расходиться, а его общий член стремится к нулю. В примере 2 ряд расходится, хотя его общий член .

Но если а n не стремится к нулю при , то ряд является расходящимся (достаточный признак расходимости ряда ).

Сходимость рядов с положительными членами

Ряд называется положительным , если все .

Частичные суммы такого ряда S n образуют возрастающую последовательность, так как каждая предыдущая меньше следующей, т.е. . Из теории пределов известно (теорема Больцано-Вейерштрасса), что если возрастающая последовательность ограничена сверху (т.е. для всех S n существует такое число М , что S n < М для всех n ), то она имеет предел. Отсюда следует следующая теорема.

Теорема . Ряд с положительными членами сходится, если частичные суммы его ограничены сверху, и расходится в противном случае.

На этом свойстве основаны все достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами . Рассмотрим основные из них.

Признак сравнения

Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами: - (3) и - (4), причём , начиная с некоторого n . Тогда из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (3). А из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда (4).

Иначе: если сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими членами; если расходится ряд с меньшими членами, то расходится и ряд с б?льшими членами.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Общий член ряда , а ряд есть бесконечная сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем < 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Признак сравнения в предельной форме

Рассмотрим два ряда и , и пусть , - конечное число. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Пример.

Решение . Выберем ряд для сравнения, выяснив для этого, как ведёт себя общий член ряда при больших n :

Т.е. ~ , и в качестве ряда сравнения берём ряд , который расходится, что было показано ранее.

Вычислим предел

и значит, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. данный ряд тоже расходится.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд и существует предел . Тогда, если l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится, если l = 1, то этот признак ответа не даёт (т.е. необходимо дополнительное исследование).

Пример. Исследовать на сходимость ряд (напомним, что , т.е. n -факториал есть произведение всех целых чисел от 1 до n ).

Решение. Для этого ряда , (для нахождения нужно в вместо n подставить n + 1). Вычислим предел

и так как предел меньше 1, данный ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Пусть дан ряд и существует предел . Если l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится, если l = 1, то этот признак ответа не даёт (необходимо дополнительное исследование).

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда . Вычислим предел . Значит, ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Рассмотрим ряд , и предположим, что на промежутке х Î существует непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция такая, что , n = 1, 2, 3… . Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Отметим, что если дан ряд то и функция рассматривается на промежутке .

Напомним, что указанный несобственный интеграл называется сходящимся , если существует конечный предел , и тогда =. Если при не имеет конечного предела, то говорят, что несобственный интеграл расходится .

Пример. Рассмотрим ряд - обобщённый гармонический ряд или ряд Дирихле с показателем степени s . Если s = 1, то ряд называют гармоническим рядом .

Исследуем данный ряд, используя интегральный признак Коши: =, и функция =обладает всеми свойствами, указанными в признаке. Вычислим несобственный интеграл .

Возможны три случая:

1) s < 1, и тогда

интеграл расходится.

2) при s = 1

интеграл расходится.

3) если s > 1, то

интеграл сходится.

Вывод . Обобщенный гармонический ряд сходится, если s > 1, и расходится, если s ≤ 1.

Этот ряд часто используют для сравнения с другими рядами, содержащими степени n .

Пример. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Для этого ряда ~ =, значит, данный ряд сравниваем с рядом , который сходится, как ряд Дирихле с показателем степени s = 2 > 1.

По признаку сравнения в предельной форме находим предел отношения общих членов данного ряда и ряда Дирихле: