Такое понятие, как вектор, рассматривается практически во всех естественных науках, причем он может иметь совершенно разное значение, поэтому дать однозначное определение вектора для всех областей невозможно. Но попробуем разобраться. Итак, вектор - что такое?
Понятие вектора в классической геометрии
Вектор в геометрии - отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая - концом. То есть, говоря проще, вектором называется направленный отрезок.
Соответственно, обозначается вектор (что такое - рассмотрели выше), как и отрезок, то есть двумя заглавными буквами латинского алфавита с добавлением сверху черты или стрелки, направленной вправо. Также его можно подписать строчной (маленькой) буквой латинского алфавита с чертой или стрелкой. Стрелка всегда направлена вправо и не меняется в зависимости от расположения вектора.
Таким образом, вектор имеет направление и длину.
В обозначении вектора содержится и его направление. Выражается это так, как на рисунке ниже.
Изменение направления меняет значение вектора на противоположное.
Длиной вектора называется длина отрезка, от которого он образован. Обозначается он как модуль от вектора. Это показано на рисунке ниже.
Соответственно, нулевым является вектор, длина которого равна нулю. Из этого следует, что нулевой вектор представляет собой точку, при чем в ней совпадают точки начала и конца.
Длина вектора - величина всегда не отрицательная. Иначе говоря, если есть отрезок, то он в обязательном порядке обладает некоторой длиной или же является точкой, тогда его длина равна нулю.
Само понятие точки является базовым и определения не имеет.
Сложение векторов
Существуют специальные формулы и правила для векторов, с помощью которых можно выполнить сложение.
Правило треугольника. Для сложения векторов по этому правилу достаточно совместить конец первого вектора и начала второго, используя при этом параллельный перенос, и соединить их. Полученный третий вектор и будет равен сложению двух других.
Правило параллелограмма. Для сложения по этому правилу необходимо провести оба вектора из одной точки, а затем провести из конца каждого из них другой вектор. То есть, из первого вектора будет проведен второй, а из второго - первый. В результате получится новая точка пересечения и образуется параллелограмм. Если совместить точку пересечения начал и концов векторов, то полученный вектор и будет результатом сложения.
Похожим образом возможно выполнять и вычитание.
Разность векторов
Аналогично сложению векторов возможно выполнить и их вычитание. Оно базируется на принципе, указанном на рисунке ниже.
То есть вычитаемый вектор достаточно представить в виде вектора, ему противоположного, и произвести расчет по принципам сложения.
Также абсолютно любой ненулевой вектор возможно умножить на какое-либо число k, это изменит его длину в k раз.
Помимо этих, существуют и другие формулы векторов (например, для выражения длины вектора через его координаты).
Расположение векторов
Наверняка многие сталкивались с таким понятием, как коллинеарный вектор. Что такое коллинеарность?
Коллинеарность векторов - эквивалент параллельности прямых. Если два вектора лежат на прямых, которые параллельны друг другу, или же на одной прямой, то такие векторы называются коллинеарными.
Направление. Относительно друг друга коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными, это определяется направлением векторов. Соответственно, если вектор сонаправлен с другим, то вектор, ему противоположный, противоположно направлен.
На первом рисунке показаны два противоположно направленных вектора и третий, который не коллинеарен им.
После введения вышеуказанных свойств возможно дать определение и равным векторам - это векторы, которые направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину отрезков, от которых они образованы.
Во многих науках применяется еще и понятие радиус-вектора. Подобный вектор описывает положение одной точки плоскости относительно другой фиксированной точки (зачастую это начало координат).
Векторы в физике
Предположим, при решении задачи возникло условие: тело движется со скоростью 3 м/с. Это означает, что тело движется с конкретным направлением по одной прямой, поэтому данная переменная будет величиной векторной. Для решения важно знать и значение, и направление, так как в зависимости от рассмотрения скорость может равняться и 3 м/c, и -3 м/с.
В общем случае вектор в физике используется для указания направления силы, действующей на тело, и для определения равнодействующей.
При указании этих сил на рисунке их обозначают стрелками с подписью вектора над ним. Классически длина стрелки так же важна, с помощью нее указывают, какая сила действует сильнее, однако это свойство побочное, опираться на него не стоит.
Вектор в линейной алгебре и математическом анализе
Элементы линейных пространств также называются векторами, однако в данном случае они представляют собой упорядоченную систему чисел, описывающих некоторые из элементов. Поэтому направление в данном случае уже не имеет никакой важности. Определение вектора в классической геометрии и в математическом анализе сильно различаются.
Проецирование векторов
Спроецированный вектор - что такое?
Довольно часто для правильного и удобного расчета необходимо разложить вектор, находящийся в двухмерном или трехмерном пространстве, по осям координат. Данная операция необходима, например, в механике при подсчете сил, действующих на тело. Вектор в физике используется достаточно часто.
Для выполнения проекции достаточно опустить перпендикуляры из начала и конца вектора на каждую из координатных осей, полученные на них отрезки и будут называться проекцией вектора на ось.
Для подсчета длины проекции достаточно умножить его изначальную длину на определенную тригонометрическую функцию, которая получается при решении мини-задачи. По сути, есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза является исходным вектором, один из катетов - проекцией, а другой катет - опущенным перпендикуляром.
Вектор - это математический объект, который характеризуется направлением и величиной. В геометрии вектором называется отрезок прямой на плоскости или в пространстве, который имеет свое определенное направление и длину.
Обозначение вектора
Для обозначения вектора используется либо одна строчная буква либо две прописных, которые соответствуют началу и концу вектора, при этом над буквами изображается горизонтальная черточка. Первая буква обозначает начало вектора, вторая - конец (смотрите рисунок 1). На графическом отображении вектора изображается стрелка, указывающая его направление.
Что такое координаты вектора на плоскости и в пространстве?
Координаты вектора - это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат. Звучит сложно, однако на деле довольно просто. Разберем на примере.
Допустим, нам требуется найти координаты вектора а. Поместим его в трехмерную систему координат (см. рисунок 2) и выполним проекции вектора на каждую ось. Вектор а в данном случае запишется так: a= a x i+ a y j+ a z k, где i, j, k - базисные векторы, a x , a y , a z - коэффициенты, которые и определяют координаты вектора а. Само выражение будет называться линейной комбинацией. На плоскости (в прямоугольной системе координат) линейная комбинация будет состоять из двух базисов и коэффициентов.
Отношения векторов
В теории векторов существует такой термин, как отношение векторов. Данное понятие определяет расположение векторов относительно друг друга на плоскости и в пространстве. Наиболее известные частные случаи отношений векторов:
- коллинеарность;
- сонаправленность;
- компланарность;
- равность.
Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или параллельны друг другу, для сонаправленных векторов характерно одинаковое направление, для компланарных - расположение в одной плоскости или в параллельных плоскостях, равные вектора имеют одинаковое направление и длину.
Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:
Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .
Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.
Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.
Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.
Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.
В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:
| (1) |
где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .
Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде
| (2) |
называется вектор-столбцом .
Число n
называется размерностью
(порядком
) вектора. Если 
то вектор называется нулевым вектором
(т.к. начальная точка вектора 
). Два вектора x
и y
равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.
Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. Если А - начало вектора и В - его конец, то вектор обозначается символом $\overrightarrow{АВ}$ (или $\overline{АВ}$). Обычно векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой (или с чертой) либо выделяют жирным шрифтом: $\overrightarrow{a}\,\,\ \overline{a}\,\,\ {\bf а}$ . Вектор изображается отрезком со стрелкой на конце (рис.1).
Длина вектора $\overrightarrow{АВ}$ называется его абсолютной величиной или модулем и обозначается символом $|\overrightarrow{АВ}|$.
Вектор $\overrightarrow{a}$, у которого $|\overrightarrow{a}| = 1$ , называется единичным.
Вектор называется нулевым (обозначается $\overrightarrow{0}$ или ${\bf 0}$), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.
Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В этом случае пишут $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ . Все нулевые векторы считаются равными.
Из определения равенства векторов непосредственно следует, что, каковы бы ни были вектор $\overrightarrow{a}$ и точка Р, существует, и притом единственный, вектор $\overrightarrow{PQ}$ с началом в точке Р, равный вектору $\overrightarrow{a}$ . В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор $\overrightarrow{a}$ . На указанной прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину, равную длине вектора $\overrightarrow{a}$ , и направлен в ту же сторону, что и вектор $\overrightarrow{a}$ . Таким образом, вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку плоскости.
Пример 1. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 120).
На основании определения равенства векторов можно записать $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС} \,и\, \overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{DC} \,но\, \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AD}\,\, \overrightarrow{ВС} \neq \overrightarrow{DC}\,\, хотя \overrightarrow{|АВ|} = \overrightarrow{|AD|} = \overrightarrow{|ВС|} = \overrightarrow{|DC|} $ .
Пример 2. Какой вид имеет четырехугольник ABCDy если известно, что $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ ?
Решение. Из равенства $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ следует, что стороны AD и ВС в четырехугольнике равны и параллельны и, значит (теорема 2), он параллелограмм.
Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.
Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{a}$, обозначается $-\overrightarrow{a}$. Для вектора $\overrightarrow{AB}$ противоположным является вектор $\overrightarrow{BA}$ .
В современном мире компьютерные изображения занимают особое место. Компьютерная графика является разделом такой науки, как информатика. Векторная графика, в свою очередь, является одним из разделов компьютерной графики. Так называется изображение, которое создано с помощью математических формул.
Растровая графика - это набор пикселей. А векторная графика является набором объектов, которые описываются формулами.
С помощью подобного способа представления векторная иллюстрация получает ряд преимуществ.
Зачем нужна векторная графика?
Возможность точнейших геометрических построений - главная задача векторной компьютерной графики. То есть с помощью нее создают схемы, чертежи и прочую документацию.
Необходимо заметить, что подавляющее большинство систем автоматизированного проектирования создано на основе векторной графики.
Стоит ли говорить, что растровые и векторные такие, как Photoshop, Adobe Illustrator, Paint Tool Sai и прочие, активно используются художниками-дизайнерами. Это связано с особенностями векторной компьютерной графики.
Что является основой?
Уроки векторной графики, которые проводятся и в школе, и в высшем учебном заведении, подробно рассказывают о векторном изображении.
В его основе лежит, во-первых, расчет координат точек на экране, которые входят в состав Этот вид векторной графики называют вычисляемым.
Во-вторых, в основе растрового изображения лежат математические сведения о том, какими свойствами обладает та или иная геометрическая фигура.
Для построения иллюстраций векторная графика использует координатный способ. Базовое понятие этого вида компьютерной графики - линия.
Где она применяется?
Векторная компьютерная графика в современном обществе имеет весьма широкую сферу применения в разнообразных областях человеческой деятельности. Она используется везде, начиная от рекламных баннеров на страницах газет и журналов и заканчивая схемами и чертежами в такой области, как космическая.
Состав векторного изображения
Векторная картинка представляет собой совокупность отрезков векторов, тогда как растровое изображение является совокупностью точек.
Векторная графика описывает иллюстрацию с помощью изогнутых и прямых линий, которые называются векторами.
Кроме того, использует такие параметры, как расположение и цвет линии.
К примеру, иллюстрация отписывается точками, чем создает контур. Задается цвет контура и области внутри него.
Объекты векторной графики
Необходимо подробнее рассмотреть отличительные черты растровых и векторных изображений - объектов. Каждая такая иллюстрация может включать в себя один или несколько объектов соответствующего типа.
Любой векторный графический элемент состоит из двух частей: контура и внутренней области. Последняя может иметь заливку или быть пустой. Заливка внутренней области может быть в виде цвета, мозаичного рисунка или же цветового перехода.
Контур, в свою очередь, может быть разомкнутым или, наоборот, замкнутым. В векторном объекте он выполняет двойную функцию:
1) С помощью контура возможно изменять форму объекта на рисунке.
2) Контур векторного объекта можно оформить - в этом случае он будет играть роль обводки. Можно задать его ширину, цвет и стиль линии.
Форматы векторной графики
CDR является «родным» форматом Необходимо заметить, что этот формат несовместим даже со своими старшими версиями, не говоря уже о прочих редакторах.
SWF - это flash-формат, который предназначен для просмотра анимации. Для того чтобы ее просмотреть, необходимо установить программу FlashPlayer.
Многими векторными редакторами поддерживаются лишь некоторые форматы векторной графики. EPS является одним из них. Это самый универсальный формат для работы с векторной компьютерной графикой. Он поддерживается подавляющим большинством векторных редакторов.
Для создания анимированной графики используется программа AdobeFlash. Ее формат - FLA. С помощью языка Action Script можно создавать управляемые сценарии.
Программа Adobe Illustrator по умолчанию создает формат AI. Необходимо заметить, что более поздние ее версии несовместимы с ранними, однако она имеет возможность сохранить рисунок в предшествующей версии.
На основе языка разметки XML создан формат SVG, он создавался для публикации изображений векторной графики в интернете. Формат поддерживает анимацию, а также является открытым стандартом. Бесплатная программа для векторной графики Inkscape сохраняет файлы в этом формате по умолчанию.
Каковы достоинства векторной графики?
Во-первых, векторная графика - это сравнительно небольшой вес изображения. Кроме того, картинка обладает сравнительно несложной детализацией.
Во-вторых, векторная графика - это возможность неограниченно масштабировать изображение. При этом его качество не страдает.
В-третьих, векторная графика - это возможность неограниченного перемещения, растягивания, вращения, группировки и прочего. Качество изображения при этом, опять же, не страдает.
В-четвертых, программа для векторной графики позволяет управлять толщиной и цветом линии. Причем эта возможность не зависит от масштаба изображения.
В-пятых, векторная графика - это возможность выполнения таких преобразований над объектами, как вычитание, сложение, дополнения и пересечения.
Каковы недостатки векторной графики?
Первым недостатком является то, что если векторное изображение имеет много элементов, то его размер заметно увеличивается. Так, случается, что вес растровой копии значительно меньше веса векторного оригинала.
Из первого недостатка вытекает второй - это трудность передачи фотореалистичной картинки.
И последний, третий недостаток векторной графики, - это проблема совместимости программ.
Средства работы с векторной компьютерной графикой
Так же, как и в случае с растровой графикой, для работы с векторной существует огромное количество разнообразных программных средств. Однако освоить их куда сложнее, чем растровые графические редакторы. Основными программами для работы с векторной графикой являются следующие:
1) Adobe Illustrator. Этот графический редактор совместно с Adobe PageMaker и Adobe Photoshop образует мощный пакет для разработки сложных документов и верстки полиграфических изданий.
2) CorelDraw. Эта программа является профессиональным редактором компьютерной графики. Она обладает богатым набором настроек, а также развитой системой управления и удобным интерфейсом.
3) Macromedia Freehand. Этот графической редактор является одной из самых интуитивно понятных и дружественных программ, в которой можно работать с векторной графикой. Главные отличительные черты: простейшая система управления и высокое быстродействие. Однако ее способности куда скромнее, чем у предыдущих редакторов.
