Урок и презентация на тему: "Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К.
Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.
Понятие о рациональном выражении
Понятие "рациональное выражение" схоже с понятием "рациональная дробь". Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас - не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь - дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы будем получать алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, необходимо максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Надо получить самую маленькую степень, какую возможно; одинаковые выражения в числители и знаменатели стоит сократить; с выражениями, которые можно свернуть, надо так и поступить. То есть после выполнения ряда действий мы должны получить максимально простую алгебраическую дробь.
Порядок действий с рациональными выражениями
Порядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях. Сначала выполняются действия в скобках, потом – умножение и деление, возведение в степень и наконец – сложение и вычитание.Доказать тождество – это значит показать, что при всех значениях переменных правая и левая части равны. Примеров с доказательством тождеств очень много.
К основным способам решения тождеств относятся.
- Преобразование левой части до равенства с правой.
- Преобразование правой части до равенства с левой.
- Преобразование левой и правой части по отдельности, до тех пор пока не получится одинаковое выражение.
- Из левой части вычитают правую, и в итоге должен получиться нуль.
Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач
Пример 1.Докажите тождество:
$(\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}):{\frac{a^2+5a}{1-5a}}+\frac{a^2+5}{a+1}=a-1$.
Решение.
Очевидно, нам надо преобразовать левую часть.
Сначала выполним действия в скобках:
1) $\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}=\frac{(a+5)(a+1)+(a+5)(5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=$
$=\frac{(a+5)(a+1+5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}$
Выносить общие множители надо стараться по максимуму.
2) Преобразуем выражение, на которое делим:
$\frac{a^2+5a}{1-5a}=\frac{a(a+5)}{(1-5a}=\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}$
.3) Выполним операцию деления:
$\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}:\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}*\frac{-(5a-1)}{a(a+5)}=\frac{-6}{a+1}$.
4) Выполним операцию сложения:
$\frac{-6}{a+1}+\frac{a^2+5}{a+1}=\frac{a^2-1}{a+1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a+})=a-1$.
Правая и левая части совпали. Значит, тождество доказано.
Ребята, при решении данного примера нам понадобилось знание многих формул и операций. Мы видим, что после преобразования большое выражение превратилось совсем в маленькое. При решении почти всех задач, обычно преобразования приводят к простым выражениям.
Пример 2.
Упростите выражение:
$(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}):(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2})$.
Решение.
Начнем с первых скобок.
1. $\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}=\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2(a+b)-a^3}{(a+b)^2}=$
$=\frac{a^3+a^2 b-a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2b}{(a+b)^2}$.
2. Преобразуем вторые скобки.
$\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}=\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)-a^2}{(a-b)(a+b)}=$
$=\frac{a^2-ab-a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}$.
3. Выполним деление.
$\frac{a^2b}{(a+b)^2}:\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2b}{(a+b)^2}*\frac{(a-b)(a+b)}{(-ab)}=$
$=-\frac{a(a-b)}{a+b}$
Ответ: $-\frac{a(a-b)}{a+b}$.
Пример 3.
Выполните действия:
$\frac{k-4}{k-2}:(\frac{80k}{(k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k})-\frac{6k+4}{(4-k)^2}$.
Решение.
Как всегда надо начинать со скобок.
1. $\frac{80k}{k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k}=\frac{80k}{(k-2)(k^2+2k+4)} +\frac{2k}{k^2+2k+4}+\frac{k-16}{k-2}=$
$=\frac{80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4)}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{80k+2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64}{(k-2)(k^2+2k+4)}=$
$=\frac{k^3-12k^2+48k-64}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{(k-4)^3}{(k-2)(k^2+2k+4)}$.
2. Теперь выполним деление.
$\frac{k-4}{k-2}:\frac{(k-4)^3}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{k-4}{k-2}*\frac{(k-2)(k^2+2k+4)}{(k-4)^3}=\frac{(k^2+2k+4)}{(k-4)^2}$.
3. Воспользуемся свойством: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Выполним операцию вычитания.
$\frac{(k^2+2k+4)}{(k-4)^2}-\frac{6k+4}{(k-4)^2}=\frac{k^2-4k}{(k-4)^2}=\frac{k(k-4)}{(k-4)^2}=\frac{k}{k-4}$.
Как мы раньше говорили, упрощать дробь надо максимально.
Ответ: $\frac{k}{k-4}$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Докажите тождество:$\frac{b^2-14}{b-4}-(\frac{3-b}{7b-4}+\frac{b-3}{b-4})*\frac{4-7b}{9b-3b^2}=b+4$.
2. Упростите выражение:
$\frac{4(z+4)^2}{z-2}*(\frac{z}{2z-4}-\frac{z^2+4}{2z^2-8}-\frac{2}{z^2+2z})$.
3. Выполните действия:
$(\frac{a-b}{a^2+2ab+b^2}-\frac{2a}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{(a-b)^2})*\frac{a^4-b^4}{8ab^2}+\frac{2b^2}{a^2-b^2}$.
Любое дробное выражение (п. 48) можно записать в виде , где Р и Q - рациональные выражения, причем Q обязательно содержит переменные. Такую дробь - называют рациональной дробью.
Примеры рациональных дробей:
Основное свойство дроби выражается тождеством справедливым при условиях здесь - целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.
Например, свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и знаменатель дроби - умножить на -1, получим Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свои знак:
Например,
60. Сокращение рациональных дробей.
Сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.
Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.
Пример. Сократить дробь
Решение. Имеем
Сокращение дроби выполнено при условии .
61. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю.
Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называется целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).
Например, общим знаменателем дробей и служит многочлен так как он делится и на и на и многочлен и многочлен и многочлен и т. д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на Еыбранный. Такой простейший знаменатель называют иногда наименьшим общим знаменателем.
В рассмотренном выше примере общий знаменатель равен Имеем
Приведение данных дробей к общему знаменателю достигнуто путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на 2. а числителя и знаменателя второй дроби на Многочлены называются дополнительными множителями соответственно для первой и второй дроби. Дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:
1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2) составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;
3) найтн дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);
4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, привести дробн к общему знаменателю.
Пример. Привести к общему знаменателю дроби
Решение. Разложим знаменатели на множители:
В общий знаменатель надо включить следующие множители: и наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. . Значит, общий знаменатель имеет вид
Дополнительные множители: для первой дроби для второй для третьей Значит, получаем:
62. Сложение и вычитание рациональных дробей.
Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:
Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Пример 1. Упростить выражение
Решение.
Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.
Пример 2. Упростить выражение
Решение. Имеем
63. Умножение и деление рациональных дробей.
Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей перемножаемых дробей:
Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель - произведению внаменателя первой дроби на числитель второй дроби:
Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот, многочлен в виде дроби со знаменателем 1.
Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.
Пример 1. Выполнить умножение
Решение. Имеем
Использовав правило умножения дробей, получаем:
Пример 2. Выполнить деление
Решение. Имеем
Использовав правило деления, получаем:
64. Возведение рациональной дроби в целую степень.
Чтобы возвести рациональную дробь - в натуральную степень , нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение - числитель, а второе выражение - знаменатель результата:
Пример 1. Преобразовать в дробь степень 3.
Решение Решение.
При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество справедливое при всех значениях переменных, при которых .
Пример 2. Преобразовать в дробь выражение
65. Преобразование рациональных выражений.
Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой - целые рациональные выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.
Пример. Упростить выражение
66. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов).
При преобразовании арифметических корией используются их свойства (см. п. 35).
Рассмотрим несколько примеров на применение свойств арифметических корней для простейших преобразований радикалов. При этом все переменные будем считать принимающими только неотрицательные значения.
Пример 1. Извлечь корень из произведения
Решение. Применив свойство 1°, получим:
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня
Решение.
Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования - упростить подкоренное выражение.
Пример 3. Упростить .
Решение. По свойству 3° имеем Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак кория. Имеем
Пример 4. Упростить
Решение. Преобразуем выражение, внеся множитель под знак корня: По свойству 4° имеем
Пример 5. Упростить
Решение. По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом, примере разделить указанные показатели на 3, то получим .
Пример 6. Упростить выражения:
Решение, а) По свойству 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,
б) Прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5° мы можем показатель корня показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число. Поэтому Далее имеем теперь в полученном результате раз делив показатели корня и степени подкоренного выражения На 3, получим .
Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.
Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:
- Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
- С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
- Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.
Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.
Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят». Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.
Формулы для решения задач
Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:
- ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разность квадратов;
- ${{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left(a\pm b \right)}^{2}}$ — квадрат суммы или разности;
- ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left(a+b \right)\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ — сумма кубов;
- ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left(a-b \right)\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.
В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.
Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:
${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.
С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.
Задача № 1
\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]
Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.
Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.
Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.
Преобразуем каждое выражение в точный куб:
Перепишем числитель:
\[{{\left(3a \right)}^{3}}-{{\left(4b \right)}^{3}}=\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)\]
Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:
\[{{b}^{2}}-4={{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]
Теперь посмотрим на вторую часть выражения:
Числитель:
Осталось разобраться со знаменателем:
\[{{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left(b+2 \right)}^{2}}\]
Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:
\[\frac{\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)}{\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left(b+2 \right)}^{2}}}{{{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}}}=\]
\[=\frac{\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right)}{\left(b-2 \right)}\]
Нюансы умножения рациональных дробей
Ключевой вывод из этих построений следующий:
- Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители.
- Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения.
Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.
Задача № 2
\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]
В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.
Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:
Теперь посмотрим на знаменатель:
Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:
\[{{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left(x-2 \right)}^{2}}\]
Идем к третьей дроби. Числитель:
Разберемся со знаменателем последней дроби:
Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:
\[\frac{3\left(1-2x \right)}{2\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left(2-x \right)\left({{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right)}=\]
\[=\frac{-3}{2\left(2-x \right)}=-\frac{3}{2\left(2-x \right)}=\frac{3}{2\left(x-2 \right)}\]
Нюансы решения
Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную. Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно. В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.
Задача № 3
\[\frac{{{a}^{2}}+ab}{5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]
Разберем первую часть:
\[{{a}^{2}}+ab=a\left(a+b \right)\]
\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) \right)=\]
\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]
Давайте перепишем исходное выражение:
\[\frac{a\left(a+b \right)}{\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]
Теперь разберемся со второй скобкой:
\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a={{a}^{2}}-10a+25-{{b}^{2}}=\left({{a}^{2}}-2\cdot 5a+{{5}^{2}} \right)-{{b}^{2}}=\]
\[={{\left(a-5 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)\]
Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:
\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]
Теперь перепишем всю нашу конструкцию:
\[\frac{a\left(a+b \right)}{\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)}\cdot \frac{\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)}{\left(a-b \right)\left(a+b \right)}=\frac{a\left(b-a+5 \right)}{{{\left(a-b \right)}^{2}}}\]
Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.
Нюансы решения
С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.
Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.
Задача № 4
\[\left({{x}^{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9} \right)\]
Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:
\[{{x}^{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+{{3}^{3}}}{x}=\]
\[=\frac{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\]
Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:
Он на множители не раскладывается, поэтому запишем следующее:
\[\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9}=\frac{{{x}^{2}}-3x+9+x+3}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}\]
Числитель выпишем отдельно:
\[{{x}^{2}}-2x+12=0\]
Следовательно, этот многочлен на множители не раскладывается.
Максимум, что мы могли сделать и разложить, мы уже сделали.
Итого переписываем нашу исходную конструкцию и получаем:
\[\frac{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\cdot \frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{x}\]
Все, задача решена.
Если честно, это была не такая уж и сложная задача: там все легко раскладывалось на множители, быстро приводились подобные слагаемые, и все красиво сокращалось. Поэтому сейчас давайте попробуем решить задачку посерьезней.
Задача № 5
\[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]
Сначала давайте разберемся с первой скобкой. С самого начала разложим на множители знаменатель второй дроби отдельно:
\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)\]
\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\]
\[=\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}=\]
\[=\frac{x\left(x-2 \right)+{{x}^{2}}+8-\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]
Теперь поработаем со второй дробью:
\[\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}+2\left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}\]
Возвращаемся к нашей исходной конструкции и записываем:
\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]
Ключевые моменты
Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:
- Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
- Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
- Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
- В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.
Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами!
>>Математика:Преобразование рациональных выражений
Преобразование рациональных выражений
Этот параграф подводит итог всему тому, что мы, начиная с 7-го класса, говорили о математическом языке, о математической символике, о числах, переменных, степенях, многочленах и алгебраических дробях . Но сначала совершим небольшой экскурс в прошлое.
Вспомните, как в младших классах обстояло дело с изучением чисел и числовых выражений.
А, скажем, к дроби можно приклеить только один ярлык - рациональное число.
Аналогично обстоит дело с алгебраическими выражениями: первый этап их изучения - числа, переменные, степени («цифры»); второй этап их изучения - одночлены («натуральные числа»); третий этап их изучения - многочлены («целые числа»); четвертый этап их изучения - алгебраические дроби
(«рациональные числа»). При этом каждый следующий этап как бы вбирает в себя предыдущий: так, числа, переменные, степени - частные случаи одночленов; одночлены - частные случаи многочленов; многочлены - частные случаи алгебраических дробей. Между прочим, в алгебре используют иногда и такие термины: многочлен - целое выражение
, алгебраическая дробь - дробное выражение (это лишь усиливает аналогию).
Продолжим упомянутую аналогию. Вы знаете, что любое числовое выражение после выполнения всех входящих в его состав арифметических действий принимает конкретное числовое значение - рациональное число (разумеется, оно может оказаться и натуральным числом, и целым числом, и дробью - это неважно). Точно так же любое алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень
, после выполнения преобразований принимает вид алгебраической дроби и опять-таки, в частности, может получиться не дробь, а многочлен или даже одночлен). Для таких выражений в алгебре используют термин рациональное выражение.
Пример.
Доказать тождество
Решение.
Доказать тождество - это значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части представляют собой тождественно равные выражения. В алгебре тождества доказывают различными способами:
1) выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть;
2) выполняют преобразования правой части и получают в итоге левую часть;
3) по отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и то же выражение;
4) составляют разность левой и правой частей и в результате ее преобразований получают нуль.
Какой способ выбрать - зависит от конкретного вида тождества
, которое вам предлагается доказать. В данном примере целесообразно выбрать первый способ.
Для преобразования рациональных выражений принят тот же порядок действий, что и для преобразования числовых выражений. Это значит, что сначала выполняют действия в скобках, затем действия второй ступени (умножение, деление, возведение в степень), затем действия первой ступени (сложение, вычитание).
Выполним преобразования по действиям, опираясь на те правила, алгоритмы , что были выработаны в предыдущих параграфах.
Как видите, нам удалось преобразовать левую часть проверяемого тождества к виду правой части. Это значит, что тождество доказано. Однако напомним, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных. Таковыми в данном примере являются любые значения а и b, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми являются любые пары чисел (а; b), кроме тех, при которых выполняется хотя бы одно из равенств:
2а - b = 0, 2а + b = 0, b = 0.
Мордкович А. Г., Алгебра
. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.
Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике онлайн , видеоматериал по математике для 8 класса скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки
