Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Числовая окружность в координатной плоскости
Повторим: Единичная окружность – числовая окружность, радиус которой равен 1. R=1 C=2 π + - у х
Если точка М числовой окружности соответст-вует числу t, то она соответствует и числу вида t+2 π k , где k – любое целое число (k ϵ Z) . M(t) = M(t+2 π k), где k ϵ Z
Основные макеты Первый макет 0 π у х Второй макет у х
х у 1 А(1, 0) B (0 , 1) C (- 1, 0) D (0 , -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y
Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) х у М P 45° O A
Координаты основных точек первого макета 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D у х
М P х у O A Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) 30°
М P Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) 30° х у O A В
Используя свойство симметрии, найдем координаты точек, кратных у х
Координаты основных точек второго макета x y x y у х
Пример Найти координаты точки числовой окружности. Решение: P у х
Пример Найти на числовой окружности точки с ординатой Решение: у х x y x y
Упражнения: Найти координаты точек числовой окружности: а) , б) . Найти на числовой окружности точки с абсциссой.
Координаты основных точек 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Координаты основных точек первого макета x y x y Координаты основных точек второго макета
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Дидактический материал по алгебре и началам анализа в 10 классе (профильный уровень) "Числовая окружность на координатной плоскости"
Вариант 1.1.Найти на числовой окружности точку:А) -2∏/3Б) 72.Како й четверти числовой окружности принадлежит точка 16.3.Найти ко...
Дата: Урок
1
тема: Числовая окружность на координатной прямой
Цели: ввести понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат; формировать умение находить декартовы координаты точек числовой окружности и выполнять обратное действие: зная декартовы координаты точки, определять её числовое значение на числовой окружности.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Объяснение нового материала.
1. Разместив числовую окружность в декартовой системе координат, подробно разбираем свойства точек числовой окружности, находящихся в различных координатных четвертях.
Для точки М числовой окружности используют запись М (t ), если речь идет о криволинейной координате точки М , или запись М (х ; у ), если речь идет о декартовых координатах точки.
2. Отыскание декартовых координат «хороших» точек числовой окружности. Речь идет о переходе от записи М (t ) к М (х ; у ).
3. Отыскание знаков координат «плохих» точек числовой окружности. Если, например, М (2) = М (х ; у ), то х 0; у 0. (школьники учатся определять знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.)
1. № 5.1 (а; б), № 5.2 (а; б), № 5.3 (а; б).
Данная группа заданий направлена на формирование умения отыскивать декартовы координаты «хороших» точек на числовой окружности.
Решение:
№ 5.1 (а).
2. № 5.4 (а; б), № 5.5 (а; б).
Эта группа заданий направлена на формирование умений находить криволинейные координаты точки по её декартовым координатам.
Решение:
№ 5.5 (б).
3. № 5.10 (а; б).
Данное упражнение направлено на формирование умения находить декартовы координаты «плохих» точек.
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Что собой представляет модель – числовая окружность на координатной плоскости?
– Как, зная криволинейные координаты точки на числовой окружности, найти её декартовы координаты и наоборот?
Домашнее задание: № 5.1 (в; г) – 5.5 (в; г), № 5.10 (в; г).
Дата: Урок
2
ТЕМА: Решение задач на модели «числовая окружность на координатной плоскости»
Цели: продолжить формирование умения переходить от криволинейных координат точки на числовой окружности к декартовым координатам; формировать умение отыскивать на числовой окружности точки, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению или неравенству.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите криволинейные и декартовы координаты точек на числовой окружности.
2. Сопоставьте дугу на окружности и её аналитическую запись.
III. Объяснение нового материала.
2. Отыскание на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.
Рассматриваем примеры 2 и 3 со с. 41–42 учебника.
Важность этой «игры» очевидна: учащиеся готовятся к решению простейших тригонометрических уравнений вида Для понимания сути дела следует прежде всего научить школьников решать эти уравнения с помощью числовой окружности, не переходя к готовым формулам.
При рассмотрении примера на нахождение точки с абсциссой обращаем внимание учащихся на возможность объединения ддвух серий ответов в одну формулу:
3. Отыскание на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному неравенству.
Рассматриваем примеры 4–7 со с. 43–44 учебника. Решая подобные задачи, мы готовим учащихся к решению тригонометрических неравенств вида
После рассмотрения примеров учащиеся могут самостоятельно сформулировать алгоритм решения неравенств указанного типа:
1) от аналитической модели переходим к геометрической модели – дуга МР числовой окружности;
2) составляем ядро аналитической записи МР ; для дуги получаем
3) составляем общую запись:
IV. Формирование умений и навыков.
1-я группа. Нахождение точки на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному уравнению.
№ 5.6 (а; б) – № 5.9 (а; б).
В процессе работы над этими упражнениями отрабатываем пошаговость выполнения: запись ядра точки, аналитической записи.
2-я группа. Нахождение точек на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному неравенству.
№ 5.11 (а; б) – 5.14 (а;б).
Главное умение, которое должны приобрести школьники при выполнении данных упражнений, – это составление ядра аналитической записи дуги.
V. Самостоятельная работа.
Вариант 1
1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу, и найдите её декартовы координаты:
2. Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой и запишите, каким числам t они соответствуют.
3. Обозначьте на числовой окружности точки с ординатой, удовлетворяющей неравенству и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.
Вариант 2
1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу, и найдите её декартовы координаты:
2. Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой у = 0,5 и запишите, каким числам t они соответствуют.
3. Обозначьте на числовой окружности точки с абсциссой, удовлетворяющей неравенству и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.
VI. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Как найти на окружности точку, абсцисса которой удовлетворяет заданному уравнению?
– Как найти на окружности точку, ордината которой удовлетворяет заданному уравнению?
– Назовите алгоритм решения неравенств с помощью числовой окружности.
Домашнее задание: № 5.6 (в; г) – № 5.9 (в; г),
№ 5.11 (в; г) – № 5.14 (в; г).
Определение 1 . Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
O → x
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины .
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат , не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату , которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA 1 и AA 2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A 1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A 2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y ) или A = (x ; y ).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти (квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2)
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| | A
1 A
2 | 2 = = ( x 2 - x 1) 2 + ( y 2 - y 1) 2 . | (1) |
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Рассмотрим на координатной плоскости Oxy (рис. 7) окружность радиуса R с центром в точке A 0 (x 0 ; y 0) .
Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).
Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности
- четвертям - 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
- серединам четвертей - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- третям четвертей - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.
Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).
Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).
Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).
Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого - это и есть координаты x и y точки окружности.
Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.
Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Таким образом, координаты точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.
Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Таким образом T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 1
ХМАО-Югра
Разработка урока
в 10 «б» классе
по алгебре и началам анализа
Надежда Михайловна
учитель математики
г. Советский
Тема: ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические преобразования
Числовая окружность на
координатной плоскости
Преподавание предмета ведется по блочно- модульной технологии.
Данный урок один из уроков изучения нового материала. Поэтому основное время урока отводится именно на изучение нового материала, причем большую часть этой работы ученики выполняют самостоятельно.
Виды деятельности учащихся на уроке: фронтальная, самостоятельная и индивидуальная работы.
Так как на уроке необходимо проделать большую по объему работу и обязательно проконтролировать результаты ученической деятельности, используется интерактивная доска на этапах актуализации знаний и изучения нового материала. Для более наглядного представления наложения числовой окружности на координатную плоскость и для рефлексии содержания учебного материала в конце учебного занятия используются и презентации Power Point.
познавательная
Учить самостоятельно добывать знания
воспитывающая
Воспитывать собранность, ответственность, усердие
развивающая
Учить анализировать, сравнивать, строить аналогии
План урока:
1) Организационный момент, тема, цель урока 2 мин.
2) Актуализация знаний 4 мин .
3) Изучение нового материала 30 мин .
4) Рефлексия 3 мин.
5) Итог урока 1 мин.
Организационный момент
Числовая окружность
координатной плоскости
рассмотреть числовую окружность на координатной плоскости; вместе найти координаты двух точек; далее самостоятельно составить таблицы значений координат других основных точек окружности;
проверить умение находить координаты точек числовой окружности.
Актуализация знаний
В курсе геометрии 9 класса изучали следующий
материал:
На единичной полуокружности (R = 1) рассмотрели точку М с координатами х и у
Выдержки из учебника геометрии
Научившись находить координаты точки единичной окружности,
с легкостью перейдём к их другим названиям: синусам и косинусам, т.е.
к основной теме- ТРИГОНОМЕТРИЯ
Первое задание дано на интерактивной доске, где учащимся необходимо расставить точки и соответствующие им числа по местам на числовой окружности, перетащив их пальцем по доске.
Задание 1
Получили результат:
Второе задание дано на интерактивной доске. Ответы закрыты «шторой», открываются по мере решения.
Задание 2
Итог выполнения задания:
Изучение нового материала
Возьмём систему координат и на неё наложим числовую окружность так, чтобы их центры совпали, а горизонтальный радиус окружности совпал с положительным направлением оси ОХ (презентация Power Point)
В результате имеем точки, которые принадлежат одновременно числовой окружности и координатной плоскости. Рассмотрим одну из таких точек, например, точку М (презентация Power Point)
М (t )
Изобразим координаты этой точки
Найдем координаты интересующих нас точек единичной окружности, которые рассмотрели ранее со знаменателями 4, 3 , 6 и числителем π.
Найти координаты точки единичной окружности, соответствующей числу, соответственно и углу
Задание 3
(презентация Power Point)
Изобразим радиус и координаты точки
По теореме Пифагора имеем х 2 + х 2 = 12
Но углы треугольника по π/4 = 45°, значит треугольник – равнобедренный и х = у
Найти координаты точки единичной окружности, соответствующей числам (углам)
Задание 4
(презентация Power Point)
Значит у = 1/2
По теореме Пифагора
Треугольники равны по гипотенузе
и острому углу, значит их катеты равны
На предыдущем уроке учащиеся получили листы с заготовками числовых окружностей и различных таблиц.
Заполнить первую таблицу.
Задание 5
(интерактивная доска)
Сначала в таблицу внести точки окружности, кратные 2 и 4
Проверка результата:
(интерактивная доска)
Заполнить самостоятельно в таблице ординаты и абсциссы данных точек с учетом знаков координат в зависимости от того в какой четверти расположена точка, используя выше полученные длины отрезков для координат точек.
Задание 6
Один из учеников называет полученные результаты, остальные сверяют со своими ответами, затем для успешной корректировки результатов (так как эти таблицы будут использоваться далее в работе при выработке навыков и углублении знаний по теме) показывается правильно заполненная таблица на интерактивной доске.
Проверка результата:
(интерактивная доска)
Заполнить вторую таблицу.
Задание 7
(интерактивная доска)
Сначала в таблицу внести точки окружности, кратные 3 и 6
Проверка результата:
(интерактивная доска)
Заполнить самостоятельно в таблице ординаты и абсциссы данных точек
Задание 8
Проверка результата:
(интерактивная доска)
(презентация Power Point)
Проведем небольшой математический диктант с последующим самоконтролем.
1) Найдите координаты точек единичной окружности:
2 вариант
1 вариант
2) Найдите абсциссы точек единичной окружности:
1) Найдите координаты точек единичной окружности
2 вариант
1 вариант
2) Найдите абсциссы точек единичной окружности
Проверь себя
3) Найдите ординаты точек единичной окружности:
Для себя Вы можете поставить отметку «5» за 4 выполненных примера,
«4» за 3 примера и отметку «3» за 2 примера
Подведение итогов урока
1) В дальнейшем для нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса точек и углов необходимо выучить по заполненным таблицам значения координат точек, принадлежащих первой четверти т.к. далее мы научимся выражать значения координат всех остальных точек через значения точек первой четверти;
2) Готовить теоретические вопросы к зачету.
Домашнее задание:
Итог урока
Оценка ставится наиболее активно работавшим на уроке ученикам. Работа всех учащихся не оценивается, так как ошибки исправляются сразу по ходу урока. Диктант проведен для самоконтроля, для оценивания недостаточный объем.
