Функция $f(x)=|x|$
$|x|$ - модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.
Математически это можно записать следующим образом:
Пример 1
Функция $f(x)=[x]$
Функция $f\left(x\right)=[x]$ - функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».
Пример: $=2.$
Пример 2
Исследуем и построим её график.
- $D\left(f\right)=R$.
- Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
- $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
- $(0,0)$ -- единственная точка пересечения с осями координат.
- $f"\left(x\right)=0$
- Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.
Рисунок 2.
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ -- функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.
Пример 3
Исследуем и построим график функции
Функция $f(x)=sign(x)$
Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ -- сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.
Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .
Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .
Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .
График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.
Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью .
D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R
График линейной функции — прямая.
Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:
k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .
1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .
Например: y=x+1
2) Функция монотонно убывает при k < 0 .
Например: y=-x+1
3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .
Например: y=-1
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac {k}{x} , где k — отличное от нуля, действительное число
D(f) : x \in \left \{ R/x \neq 0 \right \}; \: E(f) : y \in \left \{R/y \neq 0 \right \} .
Графиком функции y=\frac {k}{x} является гипербола.
1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.
Например: y=\frac{1}{x}
2) Если k < 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Например: y=-\frac{1}{x}
Степенная функция
Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число
1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi
Пусть y - некоторая функция переменной x ; причём, неважно, каким образом эта функция задана: формулой, таблицей или как-то иначе. Важен только сам факт существования этой функциональной зависимости, что записывается следующим образом: y = f (x ). Буква f (начальная буква латинского слова “functio”- функция) не обозначает какой-либо величины, так же как буквы log, sin, tan в записях функций y = log x , y = sin x , y = tan x . Они говорят лишь об определённых функциональных зависимостях y от x . Запись y = f (x ) представляет любую функциональную зависимость. Если две функциональные зависимости: y от x и z от t отличаются одна от другой, то они записываются с помощью различных букв: y = f (x ) и z = F (t ). Если же некоторые зависимости одни и те же, то они записываются одной и той же буквой f : y = f (x ) и z = f (t ). Если выражение для функциональной зависимости y = f (x ) известно, то она может быть записана с использованием обоих обозначений функции. Например, y = sin x или f (x ) = sin x . Обе формы полностью равносильны. Иногда используется и другая форма записи: y (x ). Это означает то же самое, что и y = f (x ).
Графическое представление функций.
Чтобы представить функцию y = f (x ) в виде графика, нужно:
1) Записать ряд значений функции и её аргумента в таблицу:
2) Перенести координаты точек функции из таблицы в систему координат,
отметив в соответствии с выбранным масштабом значения абсцисс на
оси Х и значения ординат на оси Y (рис.2). В результате в нашей системе
координат будет построен ряд точек A, B, C, . . . , F .
3) Соединяя точки A, B, C, . . . , F плавной кривой, получаем график заданной
функциональной зависимости.
Такое графическое представление функции даёт наглядное представление о характере её поведения, но достигаемая при этом точность недостаточна. Возможно, что промежуточные точки, не построенные на графике, лежат далеко от проведенной плавной кривой. Хорошие результаты в значительной степени зависят также от удачного выбора масштабов. Поэтому следует определить график функции как геометрическое место точек , координаты которых M (x, y) связаны заданной функциональной зависимостью .
Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R . Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x , при которых функция y = f (x ) определена, называется областью определения функции . Множество Y всех действительных значений y , которые принимает функция, называется областью значений функции . Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y , по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией .
1.Четность и нечетность. Функция f(x) называется четной, если ее значения симметричны относительно оси OY, т.е. f(-x) = f(x). Функция f(x) называется нечетной, если ее значение изменяется на противоположное при изменении переменной х на -х, т.е. f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.
2.Монотонность.
Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при x1< (>) x2, f(x1) < (>) f(x2).
3.Периодичность. Если значение функции f(x) повторяется через определенный период Т, то функция называется периодической с периодом Т ≠ 0 , т.е. f(x + T) = f(x). В противном случае непериодической.
4. Ограниченность. Функция f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0 , что для любого x, принадлежащего промежутку Х, | f (x) | < M. В противном случае функция называется неограниченной.
План- конспект урока математики в 7 классе
(по учебнику А.Г. Мордковича)
Тема урока: Что означает в математике запись у= f(x). Кусочная функция.
Тип урока: «открытие» нового знания.
Основные цели:
Формировать способность к обобщению;
Повторить и закрепить свойства линейной и квадратичной функций,
графическое решение уравнений.
Этапы урока:
Самоопределение к деятельности (организационный момент).
Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжим работать с функциями.
Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.
Начнем наше обсуждение с примера.
2.1. Как найти значение функции у=Зх-2 при х=4? (Надо число З умножить на 4 и из этого произведения вычесть 2. Получаем у=10).
Как называется функция у=Зх-2? (Это линейная функция).
функции является прямая линия)
2.2 . Как найти значение функции у= x 2 +З при х=2? (Надо число 2 возвести в квадрат и к полученному результату прибавить З. Получим у=7).
Как называется функция у= х 2 +з? (Это квадратичная функция).
Какая линия является графиком данной функции? (Графиком данной
функции является парабола).
Мы видим, что независимо от вида функции для вычисления величины у по заданному значению х надо выполнить набор определенных действий, операций. Совокупность этих действий, операций (алгоритм вычисления), называют функцией и обозначают символом y=f(x).
Разумеется, функцию y=f(x) можно задавать и несколькими формулами.
2.З Рассмотрим следующее задание
Дана функция у=
а)Вычислим f(-l), f(0), f(2),f(З).
б) Построим график функции y=f(x).
У учащихся возникают затруднения при выполнении задания.
3. Постановка учебной задачи.
Если кто - либо из учащихся верно предложит решение, то учитель попросит его обосновать, как выполнены действия.
Если учащиеся не смогут решить задание, то обсуждение проводится фронтально под руководством учителя.
Что дано в задании?
(Заданы две функции у=5-2х и y =
На каких промежутках определены данные функции? (Функция у=5-2х
определена при х<2, а у= х - при х 2).
Такая функция, которая на разных участках задается разными формулами, называется кусочной функцией.
Как же выполнить задание? (Надо рассмотреть сначала одну функцию, а затем другую, учитывая область определения функции).
Правильно! Значит, это наша гипотеза. Что же нужно сделать, чтобы использовать ее? (доказать в общем виде).
Вы сформулировали цель сегодняшнего урока. А как бы вы назвали тему урока? (Кусочные функции).
Учитель записывает тему урока на доске, а учащиеся - в тетради.
Построение проекта выхода из затруднения («открытие» нового знания)
4.1. Итак, сформулируйте еще раз алгоритм работы с кусочными функциями. (Надо рассмотреть сначала одну функцию, а затем другую, учитывая область определения функции).
Учащимся предлагается в парах в течение 5-7 минут проговорить решение задания и оформить его в тетрадях.
3атем решение оформляется на доске.
Решение:
а) Т.к. х=-1, х=0, х=l удовлетворяют условию х<2, то пользуемся первой формулой f(x)= 5-2х и получаем f(-1)= 5-2*(-1)=7, f(0)= 5-2*0=5,
f(-1)= 5-2* 1=3.
Т.к, х=2 и х=3 удовлетворяют условию х 2, то пользуемся второй формулой
f (x)= и получаем f(2)= 2=1, f(3)= З=1,5.
б) При х< 2 построим прямую y 1 =5-2х и при x 2 строим прямую f (x)= Построенная ломаная линия является графиком данной функции y=f(x).
При этом графиком функции является непрерывная функция.Y 1
Y 2
Первичное закрепление во внешней речи.
Учащиеся выполняют № 39.5 устно, обосновывая свои действия
6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
6.1. Учащиеся выполняют самостоятельные задания:
1). Постройте график функции
7. Рефлексия деятельности.
Что нового мы узнали на уроке?
Кого вы можете отметить?
Оцените свою работу на уроке. (Учащимся предлагается поднять сигнальные карточки: зеленая - все сделал правильно; желтая- были незначительные затруднения, но во всем разобрался; красная - требуется дополнительная помощь).
8. Домашнее задание: 39.10 (б); 39.15 (а); 39.22.
Дополнительно: построить график функции y=
