Аксиомы геометрии. Виды связей и их реакции

В результате освоения данной главы студент должен: знать

• основные аксиомы статики;
• уравнения равновесия сил на плоскости и в пространстве; уметь
• составлять уравнения равновесия для различных систем сил на плоскости и в пространстве;

владеть

• навыками проектирования сил на оси координат;
• навыками приведения систем сил к их равнодействующим.

Аксиомы статики

Статика изучает условия равновесия твердых тел под действием приложенных к ним сил.

Сформулируем основные понятия, используемые в статике и далее в строительной механике.

Под равновесием тела понимают его неподвижность (покой) или равномерное прямолинейное движение. В действительности в природе абсолютного покоя нет. Все тела, расположенные на Земле, движутся вместе с ней. Поэтому можно говорить о покое одного тела относительно какого-либо другого. Следовательно, любой покой относителен. В инженерных науках равновесие любого тела есть его покой относительно Земли, служащей основанием для любого возводимого сооружения.

Совокупность сил, действующих на тело, принято называть системой сил. Силы, образующие систему сил, принято называть составляющими.

Системы сил, под действием каждой из которых твердое тело находится в одинаковом кинематическом состоянии, называются эквивалентными.

Сила, эквивалентная заданной системе сил, называется равнодействующей.

Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону, называется уравновешивающей силой.

Определение равнодействующей по составляющим системы сил называется сложением сил, а обратное действие - разложением силы.

Силы, действующие на данное тело или систему тел, делятся на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на данное тело или систему тел со стороны других тел. Одной из разновидностей внешних сил являются реакции в связях. Под реакцией связи понимают силу, с которой связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям. Внутренними называются силы взаимодействия между отдельными точками данного тела.

Таким образом, чтобы какое-либо тело находилось в покое, система сил, действующая на это тело, должна находиться в равновесии.

Итак, статика занимается изучением условий равновесия внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу, а также рассматривает способы и приемы замены сложных систем сил более простыми эквивалентными системами.

Как и всякая точная наука, статика основана на ограниченном числе очевидных положений, называемых аксиомами статики.

Аксиома 1 (аксиома инерции). Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

Аксиома инерции выражает установленный Г. Галилеем закон инерции.

Аксиома 2 (аксиома равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, уравновешены, если они численно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Аксиома 3 (аксиома присоединения). Если на твердое тело действует какая-либо система сил, то состояние тела не нарушится, если из этой системы исключить или к этой системе добавить уравновешенную систему сил (рис. 2.2).

Предположим, что к твердому телу приложена система сил F v F 2 , Е 3 , Е 4 , под действием которой тело находится в покое или совершает равномерное прямолинейное движение. Приложим к этому телу дополнительно две равные противоположно направленные и взаимно уравновешенные силы Р х и Р 2 (рис. 2.2, а). При этом если тело находится в состоянии покоя, то оно сохранит его; если тело совершает равномерное прямолинейное движение, то оно будет продолжать двигаться под действием новой системы сил P v Р 2 , F 3 , Р А, P v P 2 , т.е. новая система сил будет эквивалентна прежней.

Рис. 2.2

Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела , действующую на него силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.

Предположим, что к твердому телу в точке А приложена сила Fj (рис. 2.2, б). Дополнительно приложим в точке В , лежащей на линии действия силы Fj, две новые силы F 2 и F 3 , равные по модулю силе Fj и направленные по линии ее действия в противоположные стороны. Затем удалим силы Fj и F 3 (по аксиоме 3). На тело будет действовать только одна сила F 2 = Fj.

Аксиома 4 (правило параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена в той же точке и представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на данных силах как на сторонах (рис. 2.3, а).

Рис. 2.3

Эта аксиома выражает правило геометрического сложения двух сил:

Модуль равнодействующей силы определяется по формуле

где а - угол между направлениями сил Fj и F 2 .

Используя аксиому 4 для сложения двух сил, приложенных в точке, построение параллелограмма можно свести к построению треугольника сил (рис. 2.3, б).

В этом случае для двух сил fj и F 2 , приложенных в точке А, достаточно построить вектор ВС, равный F 2 , и точку А соединить с точкой С. Вектор АС и будет равнодействующей силой для F] и F-,. При этом следует обратить внимание на то, что направление равнодействующей R (замыкающего вектора) направлено навстречу слагаемых векторов по контуру треугольника.

Построением параллелограмма или треугольника сил может быть решена и обратная задача - разложение силы на две составляющие.

Для решения этой задачи необходимо, кроме заданной силы, знать еще два условия, достаточных для построения параллелограмма или треугольника сил, а именно - направления, по которым нужно произвести разложение.

Например, задана сила F] (рис. 2.4, а), которую требуется представить в виде двух сил, действующих по направлениям А и В.

Рис. 2.4

Для решения задачи из вершины вектора F] проведем две прямые A i и параллельные направлениям А и В. Отрезки О А и ОВ, отсеченные этими прямыми, представляют собой величины векторов F 2 и Д 3 (рис. 2.4, б), для которых соблюдается условие геометрического сложения

Наиболее часто в инженерной практике встречается необходимость разложения силы параллельно координатным осям (получение проекций силы на координатные оси).

Применив прием разложения силы F на два направления, получим составляющие F x и F y (рис. 2.5). Отрезки X и Y являются проекциями силы F на координатные оси. Из геометрии известно, что проекцией вектора на ось называется произведение величины этого вектора на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением оси:

где а - угол, образованный направлением сил F с осью х.

Проекции силы на координатные оси считаются положительными, если их направления совпадают с направлением осей.

Рис. 2.5

Из рис. 2.5 видно, что величина силы а из уравнений (2.2) можно записать

Формулы (2.3) и (2.4) определяют направление и величину силы F.

Аксиома 5 (аксиома равенства дейс твия и противодействия). Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Аксиома впервые сформулирована И. Ньютоном и показывает, что действие двух тел друг на друга всегда взаимно, численно одинаково и противоположно направлено, т.е. в природе не существует одностороннего действия сил.

Аксиома 6 (аксиома затвердевания). Равновесие физического тела не нарушается при его затвердевании.

Процесс превращения физического тела, т.е. реального тела природы, в абсолютно твердое тело можно представить себе мысленно как наложение добавочных абсолютно жестких связей, делающих расстояния между точками физического тела неизменными. Такое изменение физического тела не может нарушить его состояние равновесия.

Данная аксиома широко используется в инженерной практике при определении реакций в связях и внутренних сил по недеформированному состоянию тела.

Система аксиом статики, о которой мы уже упоминали, была сформулирована И.Ньютоном в 1687 г. в его работе «Математические основы натуральной философии». Часть этих аксиом известна из школьного курса физики как законы Ньютона, хотя первый из них – закон инерции был сформулирован еще Г.Галилеем.

1. Аксиома инерции. Под действием уравновешенной системы сил тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя.

2. Аксиома равновесия системы двух сил. Система двух сил уравновешена в том и только в том случае, если эти силы:

действуют по одной прямой, соединяющей точки их приложения;

равны по модулю;

направлены в противоположные стороны (Рис.1).

Отметим, в частности, что из условия: $(\vec{Р_1} , \vec{Р_2}) \sim 0$ следует, что $\vec{P_1} = - \vec{P_2}$.

3. Аксиома присоединения или исключения уравновешенной системы сил. Действие системы сил на тело не изменится, если к ней присоединить (исключить из нее) уравновешенную систему сил.

Следствием этой аксиомы является следующая

Теорема 1. Действие силы на ТТ не изменится, если эту силу перенести вдоль линии действия в любую точку этого тела.

Формулировка теоремы означает, что сила $\vec{Р}$, приложенная в точке А твердого тела, эквивалентна силе $\vec{{Р}"}$ , приложенной в точке В того же тела и лежащей на линии действия силы $\vec{Р}$. При этом вектор $\vec{Р}$ равен вектору $\vec{Р"}$ : $\vec{Р} = \vec{Р"}$ (Рис.2 а,в ).

Для доказательства присоединим к системе, состоящей из единственной силы $\vec{Р}$ , уравновешенную систему сил, приложенных в точке В: $\vec{Р"}, \vec{Р""} \sim 0$, выбрав $\vec{Р"} = \vec{Р} = -\vec{Р""}$ (Рис.1.3б).

Тогда в силу аксиом 2 и 3 :

$$(\vec{Р}) \sim (\vec{Р}, (\vec{Р"}, \vec{Р""})) \sim ((\vec{Р}, \vec{Р""}), \vec{Р"}) \sim (\vec{Р"})$$

Поскольку силы $(\vec{Р}, \vec{Р""})$ также образуют уравновешенную систему. Теорема доказана.

4. Аксиома параллелограмма. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке пересечения их линий действия и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

Отметим, что математически рассмотренная процедура определения равнодействующей соответствует нахождению суммы векторов (Рис.3 ):

$$(\vec{Р_1}, \vec{Р_2}) \sim \vec{R} \Rightarrow \vec{R} = \vec{Р_1} + \vec{Р_2}$$

Для определения модуля равнодействующей возведем последнее выражение в квадрат:

$${|\vec{R}|}^{2} = R^2 = (\vec{Р_1}^2 + \vec{Р_2}^2)^2 = {P_1}^2 + {P_2}^2 + 2(\vec{Р_1}\cdot\vec{Р_2}) = {P_1}^2 + {P_2}^2 + 2 P_1 P_2 \cos(\vec{Р_1}\cdot\vec{Р_2})$$

откуда получим искомое выражение:

$$R = \sqrt{{P_1}^2 + {P_2}^2 + 2 P_1 P_2 \cos(\alpha)}$$

Где $\alpha$ угол между векторами $\vec{Р_1}$ и $\vec{Р_2}$.

Построение параллелограмма можно, очевидно, заменить построением силового треугольника Oab .

5. Аксиома действия и противодействия. Два тела взаимодействуют с силами $\vec{Р_1}$ и $\vec{Р_2}$, равными по величине и противоположными по направлению:

$$\vec{Р_1} = - \vec{Р_2}$$

Отметим, что эти силы в отличие от сил, о которых идет речь в аксиоме 2 , системы не образуют, поскольку приложены к разным телам.

6. Аксиома отвердевания. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если его считать абсолютно твердым.

Эта аксиома позволяет рассматривать равновесие не только абсолютно твердых, но также деформируемых тел и даже жидкости. Например – в гидростатике.

7. Аксиома освобождаемости от связей. Несвободное тело можно считать свободным, если вместе с активными силами приложить к нему реакции отброшенных связей.

Отметим, что во всех предыдущих аксиомах рассматривались свободные тела. Соответственно для свободных тел впоследствии будут получены условия равновесия и теоремы статики. В то же время все окружающие нас строительные конструкции и сооружения представляют собой примеры тел несвободных. Отсюда понятна значимость последней аксиомы, которая позволяет от несвободных тел переходить к свободным, а также необходимость умения определять реакции этих связей.

Примечания:

Аксиома 1 справедлива только для частного случая ТТ – материальной точки.

На основании следствия из аксиомы 3 сила в ТМ является не точечным, а скользящим вектором, поэтому на практике точка ТТ, к которой приложена сила, может совпадать как с началом, так и с концом этого вектора.

С помощью аксиомы 4 можно выполнить и обратную операцию: разложить силу на две составляющие по двум заранее выбранным направлениям.

В процессе изучения статики, которая является одним из составляющих разделов механики, основная роль отводится аксиомам и базовым понятиям. При этом основных аксиом всего пять. Некоторые из них известны со школьных уроков физики, поскольку являются законами Ньютона.

Определение механики

Для начала необходимо упомянуть, что статика является подразделом механики. Последнюю следует описать подробнее, поскольку она напрямую связана со статикой. При этом механика - более общий термин, объединяющий в себе динамику, кинематику и статику. Все эти предметы изучались в школьном курсе физике и известны каждому. Даже входящие в изучение статики аксиомы базируются на известных со школьных лет Однако их было три, в то время как базовых аксиом статики - пять. Большая часть из них касается правил сохранения равновесия и прямолинейного равномерного перемещения определённого тела или материальной точки.

Механикой является наука о наиболее простом способе движения материи - механическом. Наиболее простыми движениями принято считать действия, сводимые к перемещению в пространстве и времени физического объекта из одного положения в другое.

Что изучает механика

В теоретической механике изучаются общие законы движения без учета индивидуальных свойств тела, кроме свойства протяжённости и гравитации (из этого следуют свойства частиц материи взаимно притягиваться либо иметь определенный вес).

В число базовых определений входит механическая сила. Данным термином называется движение, в механической форме передающееся от одного тела второму во время взаимодействия. По многочисленным наблюдениям было определено, что сила считается которая характеризуется направлением и точкой приложения.

По способу построения теоретическая механика схожа с геометрией: она так же базируется на определениях, аксиомах и теоремах. При этом на простых определениях связь не заканчивается. Большая часть рисунков, имеющих отношение к механике в целом и статике в частности, содержит геометрические правила и законы.

Теоретическая механика при этом включает три подраздела: статику, кинематику и динамику. В первой изучаются способы преобразования сил, приложенных к объекту и абсолютно твердому телу, а также условия возникновения равновесия. В кинематике рассматривается простое механическое движение, не учитывающее действующие силы. В динамике изучают движения точки, какой-либо системы или же твёрдого тела, учитывая действующие силы.

Аксиомы статики

Для начала следует рассмотреть основные понятия, аксиомы статики, виды связей и их реакции. Статикой именуется состояние равновесия с силами, которые прилагаются к абсолютно твердому телу. В ее задачи входят два основных пункта: 1 - основные понятия и аксиомы статики включают замену дополнительной системы сил, что были приложены к телу другой системой, эквивалентной ей. 2 - вывод общих правил, при которых тело под влиянием приложенных сил остаётся в покоящимся состояние либо в процессе равномерного поступательного прямолинейного движения.

Объекты в таких системах принято называть материальной точкой - телом, размеры которого в поставленных условиях можно опустить. Совокупность точек или тел, каким-либо образом взаимосвязанных между собой, именуют системой. Силы взаимного воздействия между этими телами зовутся внутренними, а силы, влияющие на данную систему - внешними.

Равнодействующей силой в определённой системе называется сила, эквивалентная приведённой системе сил. Входящие в состав этой системы зовутся составляющими силами. Уравновешивающая сила по своей величине равняется равнодействующей, но направляется в противоположном направлении.

В статике при решении вопроса о смене системы сил, влияющих на твердое тело, или о равновесии сил используют геометрические свойства векторов сил. Из этого становится понятным определение геометрической статики. Аналитическая статика, базирующаяся на принципе допустимых перемещений, будет описана в динамике.

Основные понятия и аксиомы статики

Условия нахождения тела в условиях равновесия выводятся из нескольких основных законов, используемых без дополнительных доказательств, но имеющих подтверждение в виде проведенных опытов, именуются аксиомами статики.

• Аксиома I называется первым законом Ньютона (аксиома инерции). Каждое тело остается в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до момента, пока сторонние силы не подействуют на это тело, выведя его из данного состояния. Данная способность тела именуется инертностью. Это одно из базовых свойств материи.
• Аксиома II - третий закон Ньютона (аксиома взаимодействия). Когда одно тело воздействует на другое с определенной силой, то второе тело вместе с первым будет действовать на него с определенной силой, которая равна по модулю, противоположна по направлению.
• Аксиома III - условие равновесия двух сил. Чтобы получить равновесие свободного тела, которое находится под влиянием двух сил, достаточно, чтобы данные силы были одинаковы по своему модулю и противоположны по направлению. Это также связано со следующим пунктом и входит в основные понятия и аксиомы статики, равновесие системы сходящих сил.
• Аксиома IV. Равновесие не будет нарушено, если к твердому телу приложить или удалить уравновешенную систему сил.
• Аксиома V - аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

Связи и их реакции

В теоретической механике материальной точке, системе и твердому телу может быть дано два определения: свободное и несвободное. Различия между этими словами состоят в том, что если на перемещение точки, тела или системы не налагаются заранее указанные ограничения, то данные объекты будут по определению свободными. В обратной ситуации объекты принято называть несвободными.

Физические обстоятельства, приводящие к ограничению свободы названных материальных объектов, именуются связями. В статике могут иметься простейшие связи, выполняемые разными твердыми или гибкими телами. Сила действия связи на точку, систему или тело именуется реакцией связи.

Виды связей и их реакции

В обычной жизни связь может быть представлена нитями, шнурками, цепями или верёвками. В механике за данное определения принимают невесомые, гибкие и нерастяжимые связи. Реакции соответственно могут быть направлены по нити, веревке. При этом имеют место связи, линии действия которых нельзя определить сразу. В качестве примера основных понятий и аксиомы статикиможно привести неподвижный цилиндрический шарнир.

В его состав входит неподвижный цилиндрический болт, на который надета втулка с цилиндрическим отверстием, диаметр которого не превышает величины болта. При скреплении тела с втулкой первое сможет вращаться лишь по оси шарнира. В идеальном шарнире (при условии пренебрежения трения поверхности втулки и болта) появляется преграда для смещения втулки по направлению, перпендикулярному поверхности болта и втулки. В связи с этим реакция в идеальном шарнире имеет направлении по нормали - радиусу болта. Под влиянием действующих сил втулка способна прижиматься к болту в произвольной точке. В связи с этим направление реакции у неподвижного цилиндрического шарнира заранее определить невозможно. По этой реакции может быть известно лишь ее расположение в плоскости, перпендикулярной к шарнирной оси.

Во время решения задач реакция шарнира будет устанавливаться аналитическим методом путём разложения вектора. Основные понятия и аксиомы статики включают данный способ. Значения проекций реакции вычисляется из уравнений равновесия. Так же поступают в иных ситуациях, включающих невозможность определения направления реакции связи.

Система сходящихся сил

В число основных определений можно включить систему сил, которые сходятся. Так называемой системой сходящихся сил будет называться система, линии действия в которой пересекаются в единственной точке. Данная система приводит к равнодействующей или пребывает в состоянии равновесия. Учитывается данная система и в ранее указанных аксиомах, поскольку связана с сохранением равновесия тела, о чем говорится сразу в нескольких положениях. Последние указывают как на причины, необходимые для создания равновесия, так и на факторы, которые не вызовут изменения данного состояния. Равнодействующая данной системы сходящийся силы равняется векторной сумме названных сил.

Равновесие системы

В основные понятия и аксиомы статики система сходящихся сил также включается при изучении. Для нахождения системы в равновесии механическим условием становится нулевое значение равнодействующей силы. Поскольку векторная сумма сил нулевая, то многоугольник считается замкнутым.

В аналитическом виде условие равновесия системы будет заключаться в следующем: пребывающая в равновесии пространственная система сходящихся сил будет иметь алгебраическую сумму проекций силы на каждую из осей координат, равной нулю. Поскольку в такой ситуации равновесия равнодействующая будет нулевой, то проекции на оси координат также будут нулевыми.

Момент силы

Под данным определением имеется в виду векторное произведение вектора точки приложения сил. Вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки.

Пара сил

Этим определением именуется система, состоящая из пары параллельных сил, одинаковых по величине, направленных в противоположные направления и приложенных к телу.

Момент пары сил может считаться положительным, если силы пары направлены против часовой стрелки в правосторонней системе координат, и отрицательным - направлены по направлению часовой стрелки в левой системе координат. При переводе от правой системы координат к левой ориентация сил меняется на противоположную. Минимальное значение расстояния среди линий действия сил именуется плечом. Из этого следует, что момент пары сил является свободным вектором, по модулю равняющимся М=Fh и имеющим перпендикулярно плоскости действия направление, что с вершины данного вектора силы были ориентированы положительно.

Равновесие в произвольных системах сил

Требуемым условием равновесия для произвольной пространственной системы сил, прилагаемой к твердому телу, считается обращение в нуль главного вектора и момента по отношению к любой точке пространства.

Из этого следует, что для достижения равновесия параллельных сил, располагаемых в одной плоскости, требуется и хватит того, что полученная сумма проекций сил на расположенную параллельно ось и алгебраическая сумма всех составляющих моментов, предоставленных сил относительно случайной точки, равняется нулю.

Центр тяжести у тела

Согласно закону всемирного тяготения, на каждую частицу, находящуюся поблизости от поверхности Земли, влияют силы притяжения, именуемыми силами тяжести. При небольших размерах тела во всех технических приложениях можно считать силы тяжести отдельных частиц тела системой практически параллельных сил. Если все силы тяжести частиц мы будем считать параллельными, то их равнодействующая будет численно равна сумме весов всех частиц, т. е. весу тела.

Предмет кинематики

Кинематикой именуется раздел из теоретической механики, который изучает механическое движение точки, системы точек и твердого тела в независимости от влияющих на них сил. Ньютон, исходя из материалистической позиции, считал объективным характер пространства и времени. Ньютон использовал определение абсолютного пространства и времени, но отделял их от перемещающейся материи, поэтому его можно назвать метафизиком. Диалектический материализм считает пространство и время объективными формами пребывания материи. Пространство и времени без материи не может существовать. В теоретической механике сказано, что пространство, включающее движущиеся тела, именуется трёхмерным эвклидовым пространством.

По сравнению с теоретической механикой, теория относительности основывается на иных представлениях о пространстве и времени. Помогло это возникновение новой геометрии, созданной Лобачевским. В отличие от Ньютона, Лобачевский не отделял пространство и время от видения, считая последнее изменением положения одних тел относительно других. В собственном произведении им было указано, что в природе человеком познается только движение, без коего чувственное представление становится невозможным. Из этого следует, что все прочие понятия, к примеру, геометрические, созданы разумом искусственно.

Из этого видно, что пространство рассматривается как проявление связи между перемещающими телами. Почти за век до возникновения теории относительности Лобачевский указал, что евклидова геометрия имеет отношение к абстрактным геометрически системам, тогда как в физическом мире пространственные взаимоотношения определяются физической геометрией, которая отличается от евклидовой, в которой свойства времени и пространства объединяются со свойствами материи, перемещающейся в пространстве и времени.

Не помешает заметить, что передовые ученые из России в области механики сознательно придерживались верных материалистических позиций в трактовке всех главных определений теоретической механики, в частности времени и пространства. При этом мнение о пространстве и времени в теории относительности сходны с представлениями о пространстве и времени сторонников марксизма, которые были созданы до возникновения работ о теории относительности.

При работе с теоретической механикой во время измерения пространства за главную единицу принимается метр, а за время - секунда. Время является одинаковым в каждой системе отсчета и находится вне зависимости от перемежения данных систем по отношению друг к другу. Время указывается символом и рассматривается в виде непрерывной изменчивой величины, используемой в роли аргумента. Во время измерения времени применяются определения промежутка времени, момента времени, начального времени, что входит в основные понятия и аксиомы статики.

Техническая механика

В практическом применении основные понятия и аксиомы статики и техническая механика связаны между собой. В технической механике изучается как сам механический процесс движения, так и возможность его использования в практических целях. К примеру, при создании технических и строительных конструкций и проверки их на прочность, что требует знать кратко основные понятия и аксиомы статики. При этом такое краткое изучение подойдет только любителям. В профильных учебных заведениях эта тема имеет немалую важность, к примеру, в случае с системой сил, основными понятиями и аксиомами статики.

В технической механике так же применяются приведенные выше аксиомы. К 1, основные понятия и аксиомы статики связаны с данным разделом. При том что в самой первой аксиоме объясняется принцип сохранения равновесия. В технической механике немаловажная роль отводится не только созданию приборов, но и при строительстве которых устойчивость и прочность являются основными критериями. Однако создать нечто подобное без знания базовых аксиом будет невозможно.

Общие замечания

К наиболее простым формам перемещения твердых тел относят поступательное и вращательное движение тела. В кинематике твердых тел при разных видах движений учитываются кинематические характеристики перемещения разных его точек. Вращательным движением тела вокруг неподвижной точки именуется такое движение, при котором прямая проходящая сквозь пару произвольных точек в процессе движения тела сохраняется в состоянии покоя. Данная прямая именуется осью вращения тел.

В тексте выше приводились кратко основные понятия и аксиомы статики. При этом существует большое количество сторонней информации, с помощью которой можно лучше узнать статику. Не стоит забывать базовые данные, в большинстве примеров основные понятия и аксиомы статики абсолютно твердое тело включают, поскольку это некий эталон для объекта, который может быть не достижим в нормальных условиях.

Затем следует вспомнить об аксиомах. К примеру, основные понятия и аксиомы статики, связи и их реакции входят в их число. Несмотря на то, что многие аксиомы лишь объясняют принцип сохранения равновесия или равномерного движения, это не отменяет их значимости. Начиная со школьного курса данные аксиомы и правила изучаются, поскольку являются всем известными законами Ньютона. Необходимость в их упоминании связана с практическим применением сведений статики и механики в целом. Примером послужила техническая механика, в которой, помимо создания механизмов, требуется понимать принцип конструирования устойчивых построек. Благодаря таким сведениям возможно правильное возведение обычных сооружений.

Аксиомы статики выражают основные свойства сил, действующих на тело. Большинство аксиом статики является следствием основных законов механики, полученных как обобщение опыта. Так, закон инерции нашел свое отражение в условиях равновесия твердого тела. Их можно получить, решая вопрос о частном случае движения твердого тела – состоянии покоя.

Принцип независимости действия сил. Если на материальную точку (твердое тело) действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил действует независимо от других. Иначе, эффект совместного действия нескольких сил, равен сумме эффектов действия каждой силы в отдельности . Следствием этого принципа механики является аксиома параллелограмма сил (аксиома III).

Рисунок 2 – Силы лежащие на одной прямой:

а - действие двух равных и противоположно направленных сил;

б – перенос силы по линии ее действия

Аксиома I. Если на абсолютно твердое тело действуют две равные и противоположные по направлению силы, лежащие на одной прямой, то они уравновешивают друг друга (рис. 2,а ).

Аксиома II. Действие системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или отнять от нее любую уравновешенную систему сил .

Следствие из аксиом I и II. Действие силы на твердое тело не изменится, если эту силу перенести по линии ее действия в любую точку тела.

Пусть на тело в точке А действует сила F (рис. 2,б ). Приложим к телу по линии действия силы F в точке В две уравновешенные силы F 1 и F 2 , равные по модулю½F ½. Система трех сил F, F 1 и F 2 будет эквивалентна либо силе F , либо силе F 1 (так как сила F 1 =F и F 2 =-F , то систему уравновешенных сил F 2 , F можно не учитывать). В результате в точке В на тело будет действовать сила F 1 =F , что равносильно переносу силы F из точки А в точку В.

Аксиома III. Две силы, действующие на тело в одной точке, имеют равнодействующую в той же точке, изображаемую вектором, представляющим собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах этих сил, как на сторонах .

Равнодействующую R (рис. 3) сил F 1 и F 2 называют геометрической суммой слагаемых векторов F 1 + F 2 = R . Следует отличать векторную сумму от скалярной суммы (алгебраической). Следовательно, аксиому III можно сформулировать так: равнодействующая двух сил, действующих на одно тело в одной точке, равна геометрической (векторной) сумме этих сил и приложена в той же точке тела. Данная аксиома выражает правило параллелограмма сил.

Рисунок 3 – Равнодействующая

двух сил, выходящих из одной точки

Рисунок 4 – Принцип противодействия

Аксиома IV (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое возникает равное по величине и противоположное по направлению противодействие: F 2 = - F 1 (рис. 4). Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона: действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме IV рассматривается случай, когда силы приложены к разным телам, и в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме II.

Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На рис. 5 изображена балка, опирающаяся на стены концами А и В. Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами D A и D B , приложенными к стенам, а силы противодействия – силами R A и R B , приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями.

.

Рисунок 5 – Опирание балки на опоры:

а – схема загружения балки; б – силы действия балки

на опоры и противодействия со стороны опор на балку

Аксиома V (принцип отвердения ). Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием системы сил, не нарушится, если под нагрузкой тело станет абсолютно твердым . Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным.

Аксиома VI(аксиома связей ). Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме – в следующем параграфе).

Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах.

Связи и реакции связей

Тело называется свободным, если оно может перемещаться в любом направлении, например воздушный шар в потоке воздуха. Обычно движение тел в пространстве ограничено. Такие тела называются несвободными.

Любое тело, ограничивающее свободу передвижения другого тела, называют связью. Используя аксиому связей, всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить силами – реакциями связей.

Если в качестве физического тела рассматривать какой-либо элемент инженерного сооружения (балка, ферма, колонна, плита и т. п.), который передает давление на опоры, то реакции опор (связей) называют опорными реакциями. Реакции связей носят вторичное происхождение, они возникают как противодействие другим, активным силам.

Все силы, кроме реакции связей, называют заданными силами. Термин «заданные силы» имеет глубокий смысл. Заданные силы чаще всего являются активными, т.е. силами, которые могут вызвать движение тел, например: сила тяжести, снеговая или ветровая нагрузки и т. п. Учитывая сказанное выше, будем подразделять силы на активные силы и реакции связей.

Одна из главных задач статики твердого тела – нахождение реакции связей. Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит через точку касания тела и связи. Численное значение реакции определяется расчетом, а направление реакции зависит от вида (конструкции) связи.

Для определения направления реакции необходимо установить особенности взаимодействия твердого тела со связями различного вида. Следует иметь в виду, что реакция всегда направлена противоположно направлению возможного перемещения тела при удалении связи.

Рассмотрим основные типы связей, используемых в качестве опорных элементов или для соединения элементов сооружений в пространстве.

Свободное (незакрепленное) опирание тел на поверхность или точку опоры (рис. 6, а, б ). Гладкая поверхность или точка опоры препятствуют перемещению тел только по направлению перпендикуляра, восстановленного из точек опоры к этой плоскости. Реакция в этих случаях направлена по нормали (перпендикуляру) к опирающейся поверхности.

Рисунок 6 – Свободное незакрепленное опирание тел:

а – на поверхность; б – на точки опорных элементов

Гибкие связи (рисунок 7, а, б ). Под гибкими связями подразумевают тросы, нити, цепи, веревки и т. п. Перемещение тела от точки подвеса ограничено гибкой нерастяжимой нитью. Такая связь может воспринимать только растягивающие усилия. Реакции гибких связей направлены вдоль нити к точке ее прикрепления.

Рисунок 7 – Гибкие связи: а – подвеска груза с помощью троса;

б – фиксация груза с помощью двух тросов

Связь в виде жесткого стержня, шарнирно закрепленного по концам (рис. 8, а, б ). Такая связь препятствует перемещению тела по оси стержня. Реакция направлена вдоль оси этого стержня. В отличие от гибкой нерастяжимой нити, шарнирный стержень строго фиксирует расстояние между двумя точками по концам стержня, которые не могут сблизиться (сжатие) или удалиться (растяжение).

.

Рисунок 8 – Связи в виде жесткого стержня:

а – стержень препятствует перемещению бруса вниз;

б – стержень препятствует перемещению бруса вверх

Шарнирно - подвижные опоры (рис. 9, а, б ). Под шарниром подразумевают связь, допускающую вращение одного тела по отношению к другому. Одним из распространенных видов шарнирно-подвижных опор являются катковые опоры (катки). Связь препятствует движению тела по нормали к опорной поверхности катков.

Таким образом, в подвижной (катковой) опоре возникает одна опорная реакция, направленная перпендикулярно плоскости опорной поверхности аналогично опорной реакции в шарнирном жестком стержне. Конструктивное решение шарнирно-подвижных опор может быть весьма разнообразным. В строительной механике такую опору изображают в виде шарнирного стержня (рис. 9, б).

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 10, а, б ). Это устройство представляет собой опорный элемент (подшипник), внутри которого вращается палец (ось) шарнира. Такая опора не препятствует вращению вокруг оси, но препятствует движению тела в любом направлении в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира.

Реакция R шарнирно-неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные составляющие R x и R y , соответствующие направлению выбранных осей (рис. 10, а ).

В строительной механике шарнирно-неподвижную опору изображают в виде двух шарнирных стержней пересекающихся в точке опоры (рис. 10, б ) или шарнира (рис. 10, в ).

Рисунок 11 – Жесткая заделка:

а – вид жесткой заделки; б – расчетная схема жесткой заделки

Жесткая заделка (рисунок 11, а, б ). Это соединение исключает возможность каких-либо перемещений абсолютного твердого тела. Балка, изображенная на рис.11, а , жестко заделана в стену в точке А. Перемещению ее в вертикальном направлении, препятствует реакция Ry, перемещению в горизонтальном направлении препятствует реакция Rx и повороту вокруг точки А – опорный момент М А. Характерным для данной опоры является наличие опорного момента сил, исключающего вращение тела вокруг любой оси. Схематическое изображение такой опоры в строительной механике показано на рис. 11, б.

С помощью указанных опорных связей сооружения прикрепляются к фундаментам или отдельные элементы соединяются между собой.

Проекция силы на ось

Ввиду особой важности для решения задач статики напомним известное из курса векторной алгебры определение проекции вектора на ось, в нашем случае - вектора F .

Проекцией вектора F = AB (рис. 12) на ось m называют отрезок А m В m оси m, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси m и проходящими через начало и конец вектора F. Точка А m – начало проекции, точка В m – конец проекции.

Если направление от начала проекции А m к концу проекции В m совпадает с положительным направлением оси, то величину проекции берут со знаком плюс, а в противоположном случае – со знаком минус. Данное определение справедливо при любых расположениях вектора F и оси m в пространстве. На рис. 12 проекция силы F на ось m – F m положительна.

Проведем ось m 1 , параллельную оси m . Так как отрезок АА m = СВ m , а плоскости I и II перпендикулярны оси m , то АС=А m В m =F m . Следовательно, при определении проекции силы на ось можно силу или ось переносить параллельно так, чтобы получились пересекающиеся прямые, а силу считать приложенной в точке пересечения.

Величину проекции силы на ось при всех возможных положениях силы можно определить по единой формуле F m =Fcosa, где a - угол между направлением вектора силы и оси m . В практических расчетах удобнее умножать модуль силы на косинус ее острого угла с осью , а знак величины проекции определять из чертежа.

Равнодействующую двух сил можно получить из правила силового треугольника. Из правила параллелограмма отрезок АВ (рис. 13) равен и параллелен отрезку ОС. Поэтому, если мысленно отложить вектор силы F 2 от конца вектора силы F 1 (точка А ), то равнодействующая R имеет начало в точке О , а конец - в точке В . Получили правило силового треугольника.

Аналогично, чтобы сложить систему сил, приложенных в одной точке, необходимо от конца первой силы отложить вектор второй силы, от конца второй силы отложить вектор третьей силы и т. д. Вектор равнодействующей R имеет начало в начале первой силы и конец в конце последней. Вектор R, замыкающий силовой многоугольник, называют векторной суммой сил.

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, всегда может быть заменена одной сосредоточенной силой – равнодействующей, проходящей через точку пересечения линий действия этих сил. Такая равнодействующая называется главным вектором системы сходящихся сил.

Момент силы. Пара сил

Действие силы на тело характеризуется ее численным значением (модулем), линией действия и направлением. Кроме того, в случае закрепленного тела (в одной или в нескольких точках) вводится понятие момента силы относительно точки.

Рисунок 14 –

Момент силы F относительно точки О

Момент силы относительно точки характеризует вращающее действие силы относительно этой точки. Его определяют как произведение силы F на длину перпендикуляра h, опущенного из этой точки на линию действия силы (рис. 14). Длину этого перпендикуляра называют плечом . Формулу для момента силы можно записать так: M oi = F i h i , где индекс о обозначает точку, относительно которой определяют момент силы (центр момента), h i – плечо силы F i .

Примем условно момент силы на рис. 15 положительным, если он стремится повернуть тело вокруг центра момента по ходу часовой стрелки, и отрицательным – против часовой стрелки. Тогда M o 1 = - F 1 h 1 , M o 2 =F 2 h 2 , M o 3 = 0 . Момент силы F 3 относительно точки о (М о3 ) равен нулю, так как линия действия данной силы пересекает точку о .

Пара сил – это две равные по абсолютному значению параллельные силы, направленные в противоположные стороны и имеющие разные линии действия (рис. 16). Плоскость, в которой действует пара сил, называется плоскостью пары. Пара сил не имеет равнодействующей и может быть заменена только другой эквивалентной парой сил. Сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю. Момент пары равен произведению одной из ее сил на плечо.

Пара сил также сообщает телу вращательное движение, как и момент силы относительно точки.

Часто пару сил изображают в виде изогнутой стрелки с обозначением момента (рис. 16). Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости. Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знак и место приложения пары сил.

Например, внутренние силы будут различны для балок, изображенных на рис.17, а , б.

Рисунок 17 – Замена пары сил сосредоточенным моментом:

а ) вид изогнутой оси балки при нагружении двумя сосредоточенными силами;

б ) вид изогнутой оси балки при нагружении сосредоточенным моментом